قانون واریانس کلی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریهٔ احتمال قانون (به انگلیسی: Law of total variance) واریانس کلی بیان می کند که اگر Xو Y متغیرهای تصادفی در فضای احتمال یکسان باشند و واریانس Y دارای مقدار محدود باشد در اینصورت داریم

\operatorname{var}(Y)=\operatorname{E}(\operatorname{var}(Y\mid X))+\operatorname{var}(\operatorname{E}(Y\mid X)).\,

اثبات[ویرایش]

از تعریف واریانس داریم

\operatorname{Var}[Y] = \operatorname{E}[Y^2] - \operatorname{E}[Y]^2

که به صورت معادل برابر است با

= \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y^2|X]\right] - \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y|X]\right]^2

می توان جمله ی اول از عبارت فوق را بر اساس واریانس آن بازنویسی کرد:

= \operatorname{E}\!\left[\operatorname{Var}[Y|X] + \operatorname{E}[Y|X]^2\right] - \operatorname{E}[\operatorname{E}[Y|X]]^2

و جمع عبارات داخل امیدریاضی را تبدیل به جمع دو امیدریاضی کرد:

= \operatorname{E}[\operatorname{Var}[Y|X]] + \left(\operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y|X]^2] - \operatorname{E}[\operatorname{E}[Y|X]\right]^2\right)

و در نهایت داریم:

= \operatorname{E}\left[\operatorname{Var}[Y|X]\right] + \operatorname{Var}\left[\operatorname{E}[Y|X]\right]

تعمیم درجه های بالاتر[ویرایش]

تعمیم قضیه ی فوق به گشتاور مرکزی درجه سه به صورت زیر است:

\mu_3(Y)=\operatorname{E}(\mu_3(Y\mid X))+\mu_3(\operatorname{E}(Y\mid X))
+3\,\operatorname{cov}(\operatorname{E}(Y\mid X),\operatorname{var}(Y\mid X)).\,

منابع[ویرایش]

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.  (Problem 34.10(b))