از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
قانون موری (به انگلیسی : Morrie's law اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌شود:
cos
(
20
∘
)
⋅
cos
(
40
∘
)
⋅
cos
(
80
∘
)
=
1
8
.
{\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}
که یک حالت خاص از قاعدهٔ کلیِ
2
n
⋅
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
sin
(
α
)
{\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
به ازای n = 3 و α = 20° است. این قاعده را ریچارد فاینمن بر اساس نام پسری به نام موری جیکابز که در دوران کودکی‌اش این قاعده را از او آموخته‌بود نامگذاری کرده است.[۱]
اتحاد مشابهی برای تابع سینوس نیز برقرار است:
sin
(
20
∘
)
⋅
sin
(
40
∘
)
⋅
sin
(
80
∘
)
=
3
8
.
{\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {{\sqrt {3}}\ }{8}}.}
که حاصل تقسیم آن بر قانون موری به صورت زیر است:
tan
(
20
∘
)
⋅
tan
(
40
∘
)
⋅
tan
(
80
∘
)
=
3
=
tan
(
60
∘
)
.
{\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).\,}
اگر رابطهٔ دوبرابرِ زاویهٔ تابع سینوس که مطابق آن
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
cos
(
α
)
.
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).\,}
را برای یافتن
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )}
cos
(
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}
و در ادامه:
cos
(
2
α
)
=
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
=
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋮
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}
از ضرب این عبارت‌ها در هم، داریم:
cos
(
α
)
cos
(
2
α
)
cos
(
4
α
)
⋯
cos
(
2
n
−
1
α
)
=
sin
(
2
α
)
2
sin
(
α
)
⋅
sin
(
4
α
)
2
sin
(
2
α
)
⋅
sin
(
8
α
)
2
sin
(
4
α
)
⋯
sin
(
2
n
α
)
2
sin
(
2
n
−
1
α
)
.
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.}
صورت‌ها و مخرج با هم خنثی می‌شوند و تنها مخرج کسر اول و صورت کسر آخر بر جای می‌ماند. با توجه به اینکه n عبارت در هر طرف از معادله داشته‌ایم، می‌توان نتیجه را به صورت زیر نوشت:
∏
k
=
0
n
−
1
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
α
)
2
n
sin
(
α
)
,
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}},}
که معادل قاعدهٔ کلی‌ای است که قانون موری از آن به دست می‌آید.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40baf820bfb46f3ce8606217bb6d1860bd7914eb)
