فهرست اتحادهای لگاریتمی

اتحادهای لگاریتمی زیادی را می‌توان در ریاضیات پیدا کرد.

قوانین جبری

کاربرد عملگرهای ساده‌ساز

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	زیرا:	$b^c \cdot b^d = b^{c + d} \!\,$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	زیرا:	$b^{c-d} = \tfrac{b^c}{b^d}$
$\log_b(x^d) = d \log_b(x) \!\,$	زیرا:	$(b^c)^d = b^{cd} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	زیرا:	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$
$x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)} \!\,$	زیرا:	$x^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) \log_b(y)} = b^{\log_b(y) \log_b(x)} = y^{\log_b(x)} \!\,$
$c\log_b(x)+d\log_b(y) = \log_b(x^c y^d) \!\,$	زیرا:	$\log_b(x^c y^d) = \log_b(x^c) + \log_b(y^d) \!\,$

که در آن $b$ و $x$ و $y$ اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و $b \ne 1$ است. همچنین $c$ و $d$ همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

$xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)$

قانون مربوط به توان‌ها:

$x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)$

قانون نسبت‌ها:

$\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)$

قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:

$\log_b(\sqrt[y]x) = \log_b(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\log_b(x)$

اتحادهای بدیهی

$\log_b(1) = 0 \!\,$	زیرا:	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	زیرا:	$b^1 = b\!\,$

هشدار: $\log_b(0) \!\,$ تعریف نشده‌است چون هیچ عدد $x \!\,$ را نمی‌توان پیدا کرد که $b^x = 0 \!\,$ شود. به عبارت دیگر در نمودار $\log_b(x) \!\,$ در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

توان‌های خنثی کننده

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)

$b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\operatorname{antilog}_b(\log_b(x)) = x \,$

$\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\operatorname{antilog}_b(x)) = x \,$

تغییر پایه

بسیاری از ماشین حساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:

$\log_b a = {\log_d a \over \log_d b}$

اثبات

فرض کنید که $c=\log_b a$ آنگاه $b^c=a$ حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم می‌گیریم:

$\log_d b^c=\log_d a$

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت: $c\log_d b=\log_d a$

آنگاه $c=\frac{\log_d a}{\log_d b}$

از آنجایی که $c=\log_b a$ خواهیم داشت: $\log_b a=\frac{\log_d a}{\log_d b}$

نتایج

نتایح بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:

$\log_b a = \frac {1} {\log_a b}$

$\log_{b^n} a = {{\log_b a} \over n}$

$b^{\log_a d} = d^{\log_a b}$

$- \log_b a = \log_b \left({1 \over a}\right) = \log_{1 \over b} a$

$\log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n = \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, \,$

که در آن $\scriptstyle\pi\,$ جایگشت زیرنویس 1 تا n است مانند:

$\log_b w\cdot \log_a x\cdot \log_d c\cdot \log_d z = \log_d w\cdot \log_b x\cdot \log_a c\cdot \log_d z. \,$

جمع و تفریق

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:

$\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+b^{\log_b c - \log_b a})$

$\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-b^{\log_b c - \log_b a})$

که در حالت ویژه می‌دهد:

$\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1+\frac{c}{a}\right)$

$\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1-\frac{c}{a}\right)$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «List of logarithmic identities»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۳۱ اوت ۲۰۱۱).