فرمول‌بندی انتگرال مسیر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از فرمول انتگرال مسیر)
پرش به: ناوبری، جستجو

در مکانیک کوانتومی، فرمول انتگرال مسیر توصیفی از نظریه کوانتوم است که اصل عمل مکانیک کلاسیک را عمومیت می‌بخشد. در این توصیف، مفهوم کلاسیک از وجود یک مسیر منحصربه‌فرد برای یک سیستم دارای مجموع یا انتگرال تابعی، با توصیفی شامل وجود بی‌نهایت مسیر ممکن برای محاسبه دامنه کوانتومی جایگزین می‌گردد.

ایده اولیه انتگرال مسیر را می توان بهنوربرت وینر نسبت داد که انتگرال وینر برای حل مشکلات انتشار و حرکت براونی مطرح شده‌است. این ایده توسط پاول دیراک برای استفاده از لاگرانژ در مکانیک کوانتومی در مقاله ۱۹۳۳ او توسعه داده شده‌است. روش کامل در سال ۱۹۴۸ توسط ریچارد فاینمن توسعه داده شد. انگیزه اصلی در این روش تمایل برای بدست آوردن فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی برای تحلیل نظریه ویلر-فیمنمن با استفاده از نقطه آغاز لاگرانژی و نه هامیلتونی است.

این فرمول بسیار مهم متعاقباً بعد از پیشرفت فیزیک نظری ثابت، شده‌است زیرا آن بیانیه متقارن بین زمان و مکان است.

انتگرال مسیر به فرایندهای کوانتومی و تصادفی مربوط می‌شود.

اصل کنش کوانتومی[ویرایش]

هامیلتونی در مکانیک کوانتومی، معمولی مولد بسیار کوچک از زمان انتقال است. این به این معنی است که حالت در مدت زمان کمی بعد به وسیله عملگر هامیلتونی به حالت در زمان جاری مربوط می‌شود.

اما هامیلتونی در مکانیک کلاسیک از لاگرانژ، که یک کمیت بنیادی تر با توجه به نسبیت خاص است، نتیجه گرفته شده‌است. *

هامیلتونی یک تابع از مکان و تمانه در یک زمان است، و موقعیت و مقدار حرکت را در یک فاصله زمانی کوچک به شما می‌گوید. لاگرانژ یک تابع مکان در حال حاضر و در زمان کمی بعد است.(یا معادل آن برای جداسازی زمان بی نهایت کوچک، یک تابع مکان و سرعت است). رابطه بین این دو توسط تبدیل لژاندر مشخص می‌شود.

در مکانیک کوانتومی، تفسیر تبدیل لژاندر سخت است، زیرا حرکت روی یک مسیر مشخص نیست. در مکانیک کلاسیک با زمان گسسته،

 \epsilon H = p (q(t+\epsilon) - q(t)) - \epsilon L \,

و

 p = {\partial L \over \partial \dot{q}} \,

که در آن مشتق جزئی با توجه به جاگذاری q به (q(t + ε) ثابت شده‌است. تبدیل معکوس لژاندر است:

 \epsilon L = p \epsilon \dot{q} - \epsilon H \,
 \dot q = {\partial H \over \partial p} \,

در مکانیک کوانتومی، حالت یک از حالت‌های مختلف با مقدارهای متفاوت از q و یا مقدارهای مختلف از p و مقادیر مختلف از p و q می‌تواند به عنوان عملگرهای تفسیر شود. عملگر p روی حالت‌هایی که نسبت به q غیر قابل اندازه گیری اند، تاثیر می‌گذارد. با در نظر گرفتن دو حالت زمان و عمل با عملگر متناظر با لاگرانژ:

 e^{i(p (q(t+\epsilon) - q(t)) - \epsilon H(p,q))}\,

می توان ان را به شرح زیر نیز معنی کرد، عامل اول:

 e^{-ip q(t)} \,

بعدی

e^{-i\epsilon H(p,q)} \,

عامل قبلی به این شرح نیز می‌باشد:

 e^{i p q(t+\epsilon)} \,

نین به این معناست که پایه در حالت بعدی به q باز خواهد گشت.

این از حرکت دورانی درست در زمان معمول زیاد متفاوت نیست، عامل H تمام اطلاعات دینامیکی را شامل می‌شود. بخش اول و بخش بعدی انجام تبدیل فوریه برای تبدیل پایه از p به q است.

یکی دیگر از راه‌هایی که گفته شد این است که هامیلتونی تابعی است از p و q، به توان رساندن این کمیت و تغییر پایه از p به q در هر مرحله اجاره می‌دهد تا عنصر ماتریس H به عنوان یک تابع ساده در امتدهد هر مسیر بیان شود. این تابع آنالوگ کوانتومی از عمل کلاسیک است. این نظر توسط پل دیراک بیان شد.

Dirac بیشتر به این توجه داشت که مربع عملگر زمان-حرکت دورانی را در S نمایش دهد.

 e^{i\epsilon S} \,

تفسیر فاینمن[ویرایش]

کار دیراک یک نسخه دقیق برای جمع روی مسیرها فراهم نمی‌کرد،

فاینمن تشان داد که عمل کوانتوم دیراک برای اکثر موارد سودمنداست، یعنی عمل کلاسیکی فاز بدست آمده توسط تحول کوانتومی بین دو نقطه انتهایی ثابت است. او پیشنهاد کرد برای بهبود همه مکانیک کوانتومی فرض کنیم:

  1. احتمال برای یک واقعه بوسیله مربع طول یک عدد مختلط به نام "دامنه احتمال" داده شده‌است.

فاینمن نشان داد که این فرمول از مکانیک کوانتومی معادل با روش کانونیک برای مکانیک ککوانتومی است، زمانی که هامیلتونی با تکانه درجه دو است. دامنه محاسبه شده با توجه به اصول فاینمن، از معادلات شرودینگر برای هامیلتونی متناظر با عملگر داده شده تبعیت می‌کند.

برای یک مجموعه شرایط اولیه و نهایی داده شده ما را قادر می‌سازد که مسیر یکنواخت اتصال آنها را پیدا کنیم، اگر سیستم به نحوی انتهای مسیر را بداند و در حال طی آن مسیر باشد انتگرال مسیر چگونگی این آثار را از لحاظ کوانتومی توضیح می‌دهد. سیستم اطلاعی درمورد اینکه چرا آن مسیر را طی می‌کند ندارد: انتگرال مسیر به سادگی با محاسبه مجموع دامنه‌های احتمال برای هر مسیر ممکن به نقطه پایان را ممکن می‌سازد. بعد از یک مدت زمان کافی اثر تداخل تضمین می‌کند که تنها سهمی از نقاط ثابت از عملگر داده شده با احتمال قابل ملاحظه‌است.

تعریف قطعه زمانی[ویرایش]

برای یک ذره در پتانسیل صاف، انتگرال مسیر تقریباً مسیر زیگ-زاگی دارد، که در یک بعد حاصل انتگرال عادی است. برای حرکت ذرات از موقعیت xa در زمان ta به xb در زمان tb، اختلاف زمان مساوی است با

\epsilon = \Delta t=\tfrac{t_b-t_a}{n+1}\,.

که می‌تواند زمان به n + 1 قطعه کوچک tjtj − 1 تقسیم شود که j = 1,... ,n + 1، از زمان ثابت

\epsilon = \Delta t=\tfrac{t_b-t_a}{n+1}\,.

این روش برش-زمان نامیده می‌شود.

یک تقریب برای انتگرال مسیر ببر اساس این تناسب محاسبه می‌شود

\int\limits_{x_a}^{x_b}\,d x_1 \ldots \int\limits_{x_a}^{x_b}\,dx_n
\ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} \mathcal L(x(t),v(t), t)\,\mathrm{d}t\right)

که \mathcal L(x,v,t) لاگرانژی سیستم یک بعدی با متغیر مکانی (x(t و سرعت (v = (t در نظر گرفته می‌شود و dxj متناظر با موقعیت jام مرحله زمانی است، اگر زمان انتگرال توسط یک جمع روی یک مقدار n تقریب زده شود، در محدوده ∞ → n، لاگرانژ یک انتگرال تابعی می‌شود که جدا از عامل غیر ضروری دامنه احتمال مستقیماً از \langle x_a,t_a|x_b, t_b\rangle بدست می‌آید، در یک طیف پیوسته با چگالی مربوط به طیف برای پیدا کردن مکانیک کوانتومی ذره در ta در حالت اولیه xa و در tb در حالت پایانی xb استفاده می‌شود.

در واقع \mathcal L لاگرانژ کلاسیکی در سیستم یک بعدی است، بنابراین

\mathcal L(x,\dot x , t)=p\cdot \dot x -\mathcal H(x,p,t)\,,

\mathcal H هامیلتونی است،

 p=\frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot x}
\exp\left (\frac{{\rm i}}{\hbar}\epsilon\, \,\sum_{j=1}^{n}\mathcal L \left (\tilde x_{j},\frac{x_j-x_{j-1}}{\epsilon},j \right)\right)

برش زمانی فایمن، رای انتگرال مسیر مکانیک کوانتوم اتم به پتانسیل کولمبی تکینه e۲/r بستگی دارد. تنها بعد از جاگذاری مانt توسط پارامتر شبه زمانی دیگر مسیر وابسته جاگذاری می‌شود.

ذره آزاد[ویرایش]

نمایش انتگرال مسیر دامنه کوانتومی برای رفتن از نقطه x به نقطه y را در طول انتگرال روی همه مسیرها می‌دهد. برای ذره آزاد(m = 1, ħ = ۱):


S= \int {\dot{x}^2\over 2} dt
\,

انتگرال می‌تواند به طور واضح ارزیابی شود.

برای این کار با شروع راه درست بدون فاکتور i در قسمت نمایی انجام می‌شود به طوریکه تقسیمات بزرگ توسط اعداد کوچک نه توسط توزیع نوسانگری، فشرده می‌شوند.


K(x-y;T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} \exp\left\{-\int_0^T {\dot{x}^2\over 2} dt\right\} Dx
\,

شکافتن انتگرال به تکه‌های زمانی:


K(x,y;T) = \int_{x(0)=x}^{x(T)=y} \Pi_t \exp\left\{-{1\over 2} \left({x(t+\epsilon) -x(t) \over \epsilon}\right)^2 \epsilon \right\} Dx
\,

Dx بر اساس اتصال محدود از انتگرال‌ها در هر دامنه انتگرال ε تفسیر می‌شود.


K(x-y;T) = G_\epsilon*G_\epsilon... *G_\epsilon
\,

\tilde{K}(p;T) = \tilde{G}_\epsilon(p)^{T/\epsilon}
\,

تبدیل فوریه تابع گاوسی به این شرح است:


\tilde{G}_\epsilon(p) = e^{-\epsilon {p^2/2}}
\,

تبدیل فوریه تابع گاوسی به این شرح است:


\tilde{G}_\epsilon(p) = e^{-\epsilon {p^2/2}}
\,

انتشارگرها[ویرایش]

انتگرال مسیر روی متغیرهای معمول با شرایط مرزی ثابت، دامنه احتمال برای یک ذره که از نقطه x به y می رود را ، می دهد.

اگر ویژه حالت پایه و H را داشته باشیم می توانیم حالت پایه در هر زمانی را بدست آوریم.

|\alpha;t\rangle=e^{-{\rm i}H(t) / \hbar}|\alpha;t\rangle

از این رابطه ییداست که انتشارگر مستقل از تابع موج اولیه است و تنها با راشتن ویژه مقادیر انرژی و ویژه توابع آن، می توان آن را بدست آورد.و تنها به پتانسیل بستگی دارد بنابراین هامیلتونی مئجود این انتشارگر دارای یک خصوصیت است،در زمان های بزرگتر از t_0 در معادله شرودینگر وابسته به زمان با متغیرهای "x و t صدق می کند، (وقتی که 'x و t_0 را ثابت در نظر بگیریم) به همین دلیل انتشارگر را می توان به عنوان تابعی از "x در زمان t در نظر گرفت که در زمان قبلی t_0 در 'x به طور کامل جایگزیده بوده است.

زمانی می توان گفت که انتشارگر تابعی از "x و t است که ذره در زمان t_0 در مکان 'x جایگزیده باشد.

اگر عملگر تحول زمانی را روی حالت اولیه تاثیر دهیم، می توانیم حالت در زمان های بعدی را بدست آوریم.

اگر ذره در ناحیه محدودی از فضا جایگزیده باشد، در این صورت می توان تابع موج اولیه ذره را به انتشارگر ضرب، و روی کل فضا انتگرال گیری کرد.مشابه این عمل را در الکتروستاتیک انجام می دهیم، به این صورت که ابتدا برای مثال پتانسیل بار نقطه ای را بدست آورده و روی کل فضای توزیع بار بسته به شکل مسأله انتگرال گیری می کنیم و سهم همه نقاط را در نظر می گیریم.

در تصویر شرودینگر، تابع موج از ضرب داخلی ویژه حالت مکان،یعنی 'x (که نسبت به زمان ثابت بود) در ویژه حالت سیستم(نسبت به زمان متغیر است)،ولی در تصویر هایزنبرگ؛تابع موج از ضرب داخلی 'x(که نسبت به زمان متغیر است)در ویژه حالت |\alpha;t\rangle (مه نسبت به زمان ثابت است)بدست می آید.

با استفاده از تصویر شرودینگر توانستیم تابع موج سیستم را بدست آوریم، و از طریق تصویر هایزنبرگ با توجه به تغییر مکان نسبت به زمان، می توان ویژه حالت های مکان را بدست آورد، که هر دو یک انتشارگر را بدست می دهند، به عبارتی از این دو طریق می توان انتشارگر را بدست آورد.

فرض کنیم یک موج می خواهد مسیر بین دو نقطه را طی کند، سیستم مکان اولیه و پایانی را می شناسدولی نمی‌داند که کدام مسیر را طی خواهد کرد، چرا که بی نهایت مسیر وجود دارد.فرض کنیم که این سیستم از یک نقطه رد شود و به نقطه پایانی برسد ولی بی نهایت نقطه در این مسیر وجود دارد، پس ما باید سهم همه نفاط را در نظر بگیریم.جمع روی همه احتمال های اینکه نقطه در کدام مکان است، میبندیم و از آن نسبت به نقطه 'x که نقطه میانی است، انتگرال می گیریم.

برای هر قطعه زمانی یک دامنه گذار تعریف می شود، به این مفهوم که احتمال اینکه در قطعه زمانی (t_(n-1),t_n) مسیر t_n , x_n و t_(n-1) , x_(n-1) طی می شود.

نقطه  x_1 و  x_n مکان مشخص شده ای هستند.چندین مسیر مختلف بین این دو نقطه در زمان های مختلف در نظر گرفت، حتی برای رفتن از نقطه  x_1 به  x_2 نیز بی نهایت مسیر وجود دارد، دامنه گذار به همین دلیل تعریف شده است.یعنی باید احتمال اینکه هر کدام از مسیرها مد نظر ما باشد را در نظر بگیریم.در نهایت برای رسیدن از  x_1 به  x_n روی همه این دامنه گذارها جمع می بندیم تا سهم تمام نقاط موجود در مسیر در نظر گرفته شوند.

فرمول بندی فاینمن[ویرایش]

تفاوت بین کلاسیک و کوانتوم در این است که در کلاسیک فقط یک مسیر معرف حرکت ذره است در حالیکه در کوانتوم تمام مسیرها برای ذره در نظر گرفته می شود، حتی مسیرهایی که به مسیر کلاسیک شباهت دارد ولی اکر ثابت پلانک را به صفر میل دهیم، باید به مسیر کلاسیکی برسیم.

در فرمول بندی فاینمن کنش کلاسیک نقش بسیار مهمی دارد که به این شکل است:

S=\int dt \left[ \frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j - V(x) \right],

از آنجایی که لاگرانژی کلاسیکی تابعی از سرعت و مکان است، کنش هنگامی تعریف می شود که مسیر معینی که باید انتگرال در امتداد آن بگیریم، مشخص شده باشد.

فاینمن فرض کرد که اگر یک مسیر معین داشته باشیم، با توجه به عبارت دیراک

انتگرال مسیر به این شکل در میاید:


\langle x_n;t_n|x_1;t_1 \rangle = \int_{x_1}^{x_n} e^{i \int_{t_1}^{t_n}dt L(x,v) / hbar}

منابع[ویرایش]

  • Feynman, R. P., and Hibbs, A. R., Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, 1965 [ISBN 0-07-020650-3]. The historical reference, written by the inventor of the path integral formulation himself and one of his students.
  • هاگن کلاینرت, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files)
  • Zinn Justin, Jean ; Path Integrals in Quantum Mechanics, Oxford University Press (2004), [ISBN 0-19-856674-3]. A highly readable introduction to the subject.
  • Schulman, Larry S.  ; Techniques & Applications of Path Integration, John Wiley & Sons (New York-1981) [ISBN]. A modern reference on the subject.
  • Ahmad, Ishfaq, ; Mathematical Integrals in Quantum Nature, The Nucleus (1971), pp 189–209, [ISBN]
  • Grosche, Christian & Steiner, Frank ; Handbook of Feynman Path Integrals, Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998) [ISBN 3-540-57135-3]
  • Ryder, Lewis H. ; Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), [ISBN 0-521-33859-X] Highly readable textbook; introduction to relativistic Q.F.T. for particle physics.
  • Rivers, R.J. ; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory, Cambridge University Press (1987) [ISBN 0-521-25979-7]
  • Albeverio, S. & Hoegh-Krohn. R. ; Mathematical Theory of Feynman Path Integral, Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag (1976) [ISBN].
  • Glimm, James, and Jaffe, Arthur, Quantum Physics: A Functional Integral Point of View, New York: Springer-Verlag, 1981. [ISBN 0-387-90562-6].
  • Gerald W. Johnson and Michel L. Lapidus ; The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2002) [ISBN 0-19-851572-3].
  • Etingof, Pavel ; Geometry and Quantum Field Theory, M.I.T. OpenCourseWare (2002). This course, designed for mathematicians, is a rigorous introduction to perturbative quantum field theory, using the language of functional integrals.
  • Zee, Anthony. Quantum Field Theory in a Nutshell (Second ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14034-6.  A great introduction to Path Integrals (Chapter 1) and QFT in general.
  • DeWitt-Morette, Cécile (1972). "Feynman's path integral: Definition without limiting procedure". Communication in Mathematical Physics 28 (1): 47–67. Bibcode 1972CMaPh..28...47D. DOI:10.1007/BF02099371. MR 0309456. 
  • Sinha, Sukanya; Sorkin, Rafael D. (1991). "A Sum-over-histories Account of an EPR(B) Experiment". Found. Of Phys. Lett. 4 (4): 303–335. Bibcode 1991FoPhL...4..303S. DOI:10.1007/BF00665892. 
  • Cartier, Pierre; DeWitt-Morette, Cécile (1995). "A new perspective on Functional Integration". Journal of Mathematical Physics 36 (5): 2137–2340. arXiv:funct-an/9602005. Bibcode 1995JMP....36.2237C. DOI:10.1063/1.531039. 

پیوند به بیرون[ویرایش]