فرایند ورود مارکوف

در نظریه صف ، برای مدل کردن ورود مشتریان به صف از فرایند ورود مارکوف استفاده می شود.

فرایند پواسون، فرایند ورود مارکوف و فرایند ورود دسته ای مارکوف برخی از رایج ترین ها محسوب می شوند.

سابقه

فرایندهای ورودی مارکوف دارای دو فرایند است . فرایند مارکوف در زمان پیوسته $j(t)$ ، فرایند های مارکوف که توسط یک مولد یا ماتریس تغییرات $Q$ تولید می شود. فرایند دیگر یک فرایند شمارنده است $N(t)$ ، که دارای فضای حالت $\mathbb{N}_{0}:=\mathbb{N}\cup\{0\}$ (که در آن $\mathbb{N}$ مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی)

که هر زمان $N(t)$ افزایش می بابد و یک گذار $j(t)$  وجود داشته و علامتگذاری شده است .

فرایند پواسون

فرایند ورود پواسون یا فرایند پواسون تعداد ورودی ها را می شمارد به طوری که هریک از آنها دارای توزیع نمایی بین ورود می باشد . در حالت کلی این مورد با ماتریس تغییرات نشان داده است ،

$Q=\left[\begin{matrix} -\lambda_{0}&\lambda_{0}&0&0&\dots\\ 0&-\lambda_{1}&\lambda_{1}&0&\dots\\ 0&0&-\lambda_{2}&\lambda_{2}&\dots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right]\; .$

در حالت همگن ساده تر هم می شود.

$Q=\left[\begin{matrix} -\lambda&\lambda&0&0&\dots\\ 0&-\lambda&\lambda&0&\dots\\ 0&0&-\lambda&\lambda&\dots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right]\; .$

در اینجا هر حالت گذار مشخص شده است .

فرایندهای ورود مارکوف

فرایند ورود مارکوف (MAP) یک تعمیم از فرایند پواسون با توزیع غیر نمایی موقت بین ورودی ها است. در وضعیت همگن ، ماتریس تغییرات بصورت زیر است ،

$Q=\left[\begin{matrix} D_{0}&D_{1}&0&0&\dots\\ 0&D_{0}&D_{1}&0&\dots\\ 0&0&D_{0}&D_{1}&\dots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right]\; .$

ورود در زمان گذار رخ می هد و باعث افزایش سطح (گذار مشخص شده ) می شود بعنوان مثال در تغییر حالت درزیر ماتریس $D_{1}$ . در زیر ماتریس های $D_{0}$ و $D_{1}$ با عناصر $\lambda_{i,j}$ و تغییرات فرایند پواسون ،

$0\leq [D_{1}]_{i,j}<\infty$

$0\leq [D_{0}]_{i,j}<\infty\;\;\;\; i\neq j$

$[D_{0}]_{i,i}<0\;$

و

$(D_{0}+D_{1})\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0}$

چندین مورد خاص در فرایند ورود مارکوف وجود دارد.

فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف

فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف و یا MMPP که $m$ بوسیله فرایندهای پواسون تغییر می کند . در صورتی که هر یک از فرایندهای پواسون $m$ دارای تغییرات $\lambda_{i}$ و فرایند اساسی تولید شده بوسیله یک ماتریس مولد $m\times m$ باشد.، سپس در MAP نمایش داده می شود،

$D_{1} = \operatorname{diag}\{\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}\}$

ماتریس قطری در تغییرات پواسون است و

$D_{0}=R-D_{1}$

فرایندهای نوسازی از نوع فاز

فرایندهای نوسازی از نوع فاز یک فرایند ورود مارکوف با توزیع موقتی از نوع فاز بین ورودی است . بطور مثال اگر یک فرایند ورودی بین دو ورود که زمان توزیع PH $(\boldsymbol{\alpha},S)$ با یک بردار خروجی نشان داده شد $\boldsymbol{S}^{0}=-S\boldsymbol{1}$ ، فرایند ورودی یک ماتریس مولد دارد ،

$Q=\left[\begin{matrix} S&\boldsymbol{S}^{0}\boldsymbol{\alpha}&0&0&\dots\\ 0&S&\boldsymbol{S}^{0}\boldsymbol{\alpha}&0&\dots\\ 0&0&S&\boldsymbol{S}^{0}\boldsymbol{\alpha}&\dots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\ \end{matrix}\right]$

فرایند ورود دسته ای مارکوف

فرایند ورود دسته ای مارکوف (BMAP) یک فرایند ورود مارکوف دارای ورودی ها بزرگتر از یک است . در وضعیت همگن ، ماتریس تغییرات بصورت زیر است ،

$Q=\left[\begin{matrix} D_{0}&D_{1}&D_{2}&D_{3}&\dots\\ 0&D_{0}&D_{1}&D_{2}&\dots\\ 0&0&D_{0}&D_{1}&\dots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix}\right]\; .$

یک ورودی با اندازه $k$ هر زمان رخ می دهد که گذار اتفاق می افتد . زیر ماتریس $D_{k}$ دارای عناصر $\lambda_{i,j}$ است و تغییرات فرایند پواسون :

$0\leq [D_{k}]_{i,j}<\infty\;\;\;\; 1\leq k$

$0\leq [D_{0}]_{i,j}<\infty\;\;\;\; i\neq j$

$[D_{0}]_{i,i}<0\;$

و

$\sum^{\infty}_{k=0}D_{k}\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0}$

منابع

• Søren Asmussen (2000). Matrix-analytic Models and their Analysis، Scandinavian Journal of Statistics 27(2)، 193–226.
• David M. Lucantoni (1993). The BMAP/G/1 Queue: A Tutorial، Lecture Notes in Computer Science: Performance Evaluation of Computer and Communication Systems (Editors: Lorenzo Donatiello and Randolph Nelson)، volume 729.
• Srinivas R. Chakravarthy (2001). The batch Markovian arrival process: A review and future work. In Advances in Probability and Stochastic Processes، Ed. A. Krishnamoorthy، N.Raju and V. Ramaswami، Notable Publications، Inc.، New Jersey، USA، 21-49.
• Srinivas R. Chakravarthy (2010). Markovian Arrival Processes. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. Published Online: 15 JUN 2010.
• Marcel F. Neuts (1992). Models based on the Markovian arrival process. IEICE Transactions on Communications، E75B، 1255-1265.