عملگر دل

∇

عملگر دل که با نماد نابلا مشخص می‌شود

دل (به انگلیسی: Del)‏ نمادی در ریاضیات، به‌ویژه ریاضیات برداری است و به عنوان یک عملگر دیفرانسیلی در بردارها به کار می‌رود، دل را معمولاً با نماد نابلا (∇) نمایش می‌دهند. هرگاه عملگر دل (به انگلیسی: del operator)‏ را بر یک تابع یک‌بعدی اعمال کنیم، بیانگر مشتق استاندارد آن تابع مطابق آنچه در حساب دیفرانسیل و انتگرال تعریف شده‌است خواهد بود. اگر این عملگر بر یک میدان (تابعی که دارای چندین بُعد است) اعمال شود، دل ممکن است بیانگر شیو (شدیدترین شیب محلی) یک میدان اسکالر (یا گاهی میدان برداری مثلاً در معادلات ناویه-استوکس)، دیورژانس یک میدان برداری، یا تاو یک میدان برداری باشد. اینکه دل بیانگر کدامیک از این اعمال است بستگی به نوع اعمالش دارد.

به بیان بهتر، دل یک عملگر مشخص نیست، بلکه یک سنت و نماد ریاضی است که می‌تواند بیانگر یکی از سه عملگر بالا باشد و از آن برای ساده‌نویسی معادلات ریاضی استفاده می‌شود. نماد دل را می‌توان به صورت یک بردار عملگرهای مشتق پاره‌ای تفسیر کرد، به این صورت که سه معنی مختلف آن —شیو، دیورژانس و تاو— را می‌توان به ترتیب با ضرب اسکالرها، ضرب داخلی و ضرب خارجی عملگر دل در میدان دانست.

در دستگاه مختصات دکارتی سه‌بعدیِ R³ با مختصات (x، y، z) دل در شکل مشتقات پاره‌ای به صورت زیر ظاهر می‌شود:

$\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}$

که در آن $\{\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}} \}$ بردارهای یکه در جهت‌های مربوطه هستند.

همچنین دل را می‌توان به فضای اقلیدسی Rⁿ تعمیم داد به طوری که در دستگاه مختصات دکارتی با مختصات (x₁، x₂، ...، x_n) دل به صورت زیر خواهد بود:

$\nabla = \sum_{i=1}^n \hat e^i {\partial \over \partial x_i}$

که در آن $\{ \hat e^i: 1\leq i\leq n\}$ استاندارد پایهٔ این فضا است. به صورت فشرده‌تر می‌توان این فرمول را با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین به صورتِ

$\nabla = \hat e^i \,\partial_i$

نوشت. دل را می‌توان در دیگر دستگاه‌های مختصات (برای نمونه دستگاه‌های مختصات استوانه‌ای و کروی) نیز بیان کرد.

کاربردها در نمادگذاری

دل در بسیاری از عبارت‌های ریاضی برای ساده و کوتاه‌نوسی استفاده می‌شود. کاربردهای اصلی آن در نوشتن گرادیان، دیورژانس، تاو، مشتق جهت‌دار و عملگر لاپلاس است.

جستارهای وابسته

• معادلات ماکسول
• معادلات ناویه-استوکس

منابع

• Wikipedia contributors، "Del،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Del&oldid=520061010 (accessed November 14، 2012).