عملگرهای خلق و فنا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

عملگرهای خلق و فنا، عملگرهای ریاضی هستند که کاربردهای گسترده‌ای در مکانیک کوانتومی، بخصوص در مطالعه نوسانگرهای هارمونیک و سیستم‌های چند ذره‌ای دارند.[۱] یک عملگر فنا تعداد ذرات یک حالت مشخص را کاهش می‌دهد. یک عملگر خلق تعداد ذرات یک حالت مشخص را افزایش می‌دهد، و به عملگر فنا متصل می‌باشد. در بسیاری از زیر مجموعه‌های رشته فیزیک و شیمی از این عملگرها بجای تابع‌های موج استفاده می‌شود که به کوانتش ثانویه معروف است.

عملگرهای خلق و فنا می‌توانند روی حالتهای انواع مختلف ذرات تاثیر بگذارند. برای مثال در تئوری شیمی کوانتومی، بر حالتهای الکترون تاثیر می‌گذارد. همچنین واکنش ویژه‌ای درمقابل عملگرهای پله‌ای برای نوسانگرهای هارمونیک کوانتومی دارند. در مرحله بعدی عملگرهای افزاینده بعنوان عملگرهای خلق در نظر گرفته می‌شود. که یک کوانتوم انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه می‌کند،(به همین شکل برای عملگر کاهنده). آنها می‌توانند برای نشان دادن فوتونها به کار روند.

ریاضیات مربوط به عملگرهای خلق و فنا برای بوزونها با عملگرهای نوسانگر هارمونیک کوانتوم یکسان است.[۲] برای مثال جابجایی عملگرهای خلق و فنا که مربوط به حالت یکسان بوزونها هستند، برابر یک است. در حالی که سایر جابجاییها صفر است. با این وجود برای فرمیونها معادله‌های ریاضی متفاوت است و جابجایی‌ها معکوس می‌باشد.

استنتاج فرمولهای نوسانگر هارمونیک کوانتومی[ویرایش]

در زمینه نوسانگر هارمونیک کوانتوم، ما بار دیگر عملگرهای پله‌ای را بعنوان عملگرهای خلق و فنا در نظر می‌گیریم که کوانتوم ثابت انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه و یا کم می‌کنند. عملگرهای خلق و فنا برای بوزونها (اسپین صحیح) و فرمیونها (اسپین نیمه صحیح) متفاوت است. زیرا تابع موج آنها دارای خواص هندسی متفاوتی هستند.

نخست مورد ساده تر بوزونی نوسانگر هارمونیک کوانتومی را در نظر بگیرید.

\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\right) \psi(x) = E \psi(x)

کار را با معادله شرودینگر برای زمان یک بعدی مستقل نوسانگر کوانتومی هارمونیک، شروع کنید:

x \ = \  \sqrt{ \frac{\hbar}{m \omega}} q

و معادله شرودینگر برای نوسانگر می‌شود:

 \frac{\hbar \omega}{2} \left(-\frac{d^2}{d q^2} + q^2 \right) \psi(q) = E \psi(q)

توجه کنید که مقدار  \hbar \omega = h \nu همان انرژی بدست آمده برای کوانتوم نوری است و پارانتزها در هامیلتونی را می‌توان بدین شکل نوشت:

 -\frac{d^2}{dq^2} + q^2 = \left(-\frac{d}{dq}+q \right) \left(\frac{d}{dq}+ q \right) + \frac {d}{dq}q - q \frac {d}{dq}

دو عبارت را می‌توان با در نظر گرفتن تاثیر آنها بر تابع قراردادی (f(q ساده کرد:

\left(\frac{d}{dq} q- q \frac{d}{dq} \right)f(q) = \frac{d}{dq}(q  f(q)) - q  \frac{df(q)}{dq} = f(q)

که بیان می‌کند:

\frac{d}{dq} q- q \frac{d}{dq}  = 1

بنابراین:

  -\frac{d^2}{dq^2} + q^2 = \left(-\frac{d}{dq}+q \right) \left(\frac{d}{dq}+ q \right) + 1

و معادله شرودینگر برای نوسانگر با جابجایی معادله بالا و ترتیب مجدد فاکتورگیری از  \frac{1}{2} بدین شکل در می‌آید:

 \hbar \omega \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(-\frac{d}{dq}+q \right)\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{d}{dq}+ q \right) + \frac{1}{2} \right] \psi(q) = E \psi(q)

اگر ما تعریف کنیم:

a^\dagger \ = \  \frac{1}{\sqrt{2}} \left(-\frac{d}{dq} + q\right)

را بعنوان عملگر خلق یا افزاینده و

 a \ \ = \  \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\ \ \ \frac{d}{dq} + q\right)

را بعنوان عملگر فنا یا کاهنده،

سپس معادله شرودینگر برای نوسانگر بدین صورت در می‌آید:

 \hbar \omega \left(a^\dagger a + \frac{1}{2} \right) \psi(q) = E \psi(q)

این بسیار آسانتر از شکل اولیه است. ساده کردن بیشتر این معادله، فرد را قادر می‌سازد تا تمام خواص فهرست بندی شده تا بحال را بدست آورد.

با فرض اینکه

p = - i \frac{d}{dq}

که در آن عملگر "P" همان عملگر تکانه بدون بعد است، خواهیم داشت:

 [q, p] = i \,

و

a = \frac{1}{\sqrt{2}}(q + i p) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(q + \frac{d}{dq}\right)
a^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}(q - i p) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(q - \frac{d}{dq}\right)

توجه داشته باشید که اینها بیان می‌کنند:

 [a, a^\dagger ] = \frac{1}{2} [ q + ip , q-i p] = \frac{1}{2} ([q,-ip] + [ip, q]) = \frac{-i}{2} ([q, p] + [q, p]) = 1

در مقایسه با عملگرهای به اصطلاح نرمال ریاضی، که نماد مشابه‌ای دارند (e.g. A= W_1 + i\, W_2)\,,) با خودالحاقی W_i\,.. اما در مورد عملگرهای نرمال، در ارتباط با جابجایی  W_i\,, i.e با W_1W_2=W_2W_1\,, خواهد بود. با W_1W_2=W_2W_1\,, یک در بینهایت r.h.s معادله قبلی بجای صفر جایگزین خواهد شد. که در نتیجه یک مجموعه یکسان ویژه تابع و یا ویژه توزیع را برای  W_1 و  W_2 خواهد داشت. در حالی که در اینجا ویژه تابعها و ویژه مقدارهای عملگرهای p و q وجود ندارند.

بنابر این اگرچه در مورد حاضر وجود دارد رفتار صریح با عملگرهای غیرعادی رابطه تبدیل را می‌دهد، عملگر هامیلتونی می‌تواند بیان شود بعنوان:

\hat H = \hbar \omega (a \, a^\dagger - \frac{1}{2}).
\hat H = \hbar \omega (a^\dagger \, a + \frac{1}{2}).

a و a^\dagger\,, رابطه‌های جابجایی زیر را با هامیلتونی می‌دهد.[۴]

[\hat H, a ]  = -\hbar \omega \, a.
[\hat H, a^\dagger ]  = \hbar \omega \, a^\dagger.

از این رابطه‌ها می‌توان برای پیدا کردن ویژه حالت نوسانگر هارمونیک کوانتومی استفاده کردو با فرض اینکه \psi_n یک ویژه حالت هامیلتونی\hat H \psi_n = E_n\, \psi_n است. با استفاده از این رابطه‌های جابجایی می‌توان نشان داد که[۵]:

\hat H\, a\psi_n = (E_n - \hbar \omega)\, a\psi_n.
\hat H\, a^\dagger\psi_n = (E_n + \hbar \omega)\, a^\dagger\psi_n.

این مسئله نشان می‌دهد که a\psi_n و a^\dagger\psi_n همچنین ویژه حالت هامیلتونی با ویژه مقدارهای E_n - \hbar \omega و E_n + \hbar \omega می‌باشند.

این مسئله عملگرهای a و a^\dagger را بعنوان عملگرهای کاهنده و افزاینده عین ویژه حالتها مشخص می‌کند. تفاوت انرژی بین دو ویژه حالت \Delta E = \hbar \omega است.

حالت پایه را می‌توان با این فرض بدست آورد که عملگر کاهنده آن را از بین می‌برد، a\, \psi_0 = 0. سپس از هامیلتونی برحسب عملگرهای افزاینده و کاهنده استفاده می‌کنیم

a^\dagger a \psi_0 = 0 = \left(\frac{\hat H}{\hbar \omega} - \frac{1}{2} \right) \,\psi_0 = \left(\frac{E_0}{\hbar \omega} - \frac{1}{2} \right) \,\psi_0.

تابع موج در طرف راست / عبارت غیر صفر است. این حالت انژی حالت پایه را می‌دهد: E_0 = \hbar \omega /2. این مسئله امکان تشخیص ویژه مقدار هر ویژه حالت\psi_nبوجود می‌آورد. مانند[۶]

E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar \omega

علاوه بر این می‌توان نشان داد عملگری که در اول ذکر شد یعنی عملگر عددی N=a^\dagger a\,, مهمترین نقش را در کاربردها ایفا می‌کند. در حالی که دومین عملگر a \,a^\dagger\,, را می‌توان با N +1\,. جابجا کرد. پس فرد بسادگی چنین بدست می‌آورد:

\hbar\omega \,(N+\frac{1}{2})\,\psi (q) =E\,\psi (q).

کاربردها[ویرایش]

حالت پایه \ \psi_0(q) نوسانگر هامونیک کوانتومی را می‌توان با ایجاد این حالت بدست آورد که:

 a \ \psi_0(q) = 0.

اگر تابع موج بشکل یک معادله دیفرانسیلی نوشته شود واجد چنین شرایطی خواهد بود:

q \psi_0 + \frac{d\psi_0}{dq} = 0

که حل آن بشکل زیر است:

\psi_0(q) = C \exp(-{q^2 \over 2}).

مقدار ثابت c نرمالیزاسیون 1\over \sqrt[4]{\pi} را می‌توان از \int_{-\infty}^\infty \psi_0^* \psi_0 \,dq = 1 با استفاده از انتگرال گاوسی بدست آورد.

نمایش ماتریسی[ویرایش]

معادله‌های ماتریسی عملگرهای خلق و فنا بدست آمده از مدل نوسانگر هارمونیک کوانتومی چنین می‌باشند:

a^{\dagger}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & \dots & \dots\\
\sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & \dots\\
0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & \dots\\
0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & \dots\\
\vdots& \vdots& \vdots\\
0 & 0 & 0 & \sqrt{n} & 0\dots\\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots\end{array}\right)
a=\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots& \vdots& \dots \\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \sqrt{n} & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \ddots \\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots \end{pmatrix}

با جابجایی به طرف پایین عملگرهای پله‌ای بدست می‌آیند که می‌توان از طریق رابطه‌های a^\dagger_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a}^\dagger | \psi_j\rangle و a_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a} | \psi_j\rangle. آنها را بدست آورد. تابع‌های موج تابع‌های نوسانگر هارمونیک کوانتومی بوده و برخی اوقات مبنای ددی نامیده می‌شوند.

جزئیات ریاضی[ویرایش]

عملگرهای استنتاج شده در بالا در واقع یک نمونه ویژه از یک طبقه کلی¬تر از عملگرهای خلق و فنا هستند. /ساده ترین شکل عملگرها واجد شرایط زیر هستند.

فرض کنید H فضای ذره‌ای هیلبرت است برای بدست آوردن هندسه بوزونی CCR به هندسه بوجود آمده با (a(f به ازای هر f در H مراجعه کنید. عملگر (a(f عملگر فنا است و نقشه (۰)a غیر خطی است. مجاور آن (a(f است که در H خطی است.

برای یک بوزون؛

[a(f),a(g)]=[a^\dagger(f),a^\dagger(g)]=0
[a(f),a^\dagger(g)]=\langle f|g \rangle

که در آن از علامت برا – کت استفاده می‌کنیم.

برای یک فرمیون ضد جابجایی چنین می‌باشد:

\{a(f),a(g)\}=\{a^\dagger(f),a^\dagger(g)\}=0
\{a(f),a^\dagger(g)\}=\langle f|g \rangle

یک هندسه CAR.

به زبان فیزیکی (a(f یک ذره را در حالت "کت" از بین می‌برد(i.e. annihilates). در حالی که (a(f یک ذره را در حالت "کت" ایجاد می‌کند.

حالت خلا میدان آزاد وضعیتی بدون ذره می‌باشد. به عبارتی دیگر:

a(f)|0\rangle=0

که در آن "کت صفر" وضعیت خلا است.

اگر "کت" نرمالیزه شود بطوری که " براکت =۱ " و سپس (a(f) a(f تعداد ذرات در حالت " کت " را می‌دهد.

عملگرهای خلق و فنا برای معادلات واکنش انتشار[ویرایش]

وضیح علگرهای خلق و فنا همچنین برای تجزیه و تحلیل معادلات /معمول کنش و واکنش سفید بوده است. برای مثال قسمتی که در آن گازی با مولکولهای A پخش شده و در برخورد واکنش نشان می¬دهد و یک محصول A + A → ∅. را بوجود می‌آورد. برای اینکه ببینیم این نوع واکنش را چگونه می¬توان با فرمول عملگرهای خلق و فنا توضیح داد ذرات n_{i} را در محل i در شبکه یک بعدی در نظر بگیرید. هر ذره بطور مستقل پخش می‌شود، بطوری که این احتمال که یکی از آنها محل را در زمانهای کوتاه dt ترک کند به نسبت n_{i}dt می‌باشد، برای مثال \alpha n_{i}dt برای رفتن به چپ و \alpha n_{i}dt برای رفتن به راست. تمام ذرات n با احتمال 1-2\alpha n_{i}dt ثابت خواهند ماند. حال می‌توانیم کار ذرات را در شبکه بعنوان `ket' با فرم "کت n2 ,n1,... " توضیح دهیم. یک تغییر کوچک عملگرهای خلق و فنا لازم است، بطوریکه:

a|n\rangle= \sqrt{n} \ |n-1\rangle

و

a^{\dagger}|n\rangle= \sqrt{n+1} \ |n+1\rangle

این تغییر رابطه جابجایی را حفظ می‌کند.

[a,a^{\dagger}]=1,

اما به ما این امکان را می¬دهد که رفتار خالص پخش ذرات را بدین شکل بنویسیم:

\partial_{t}|\psi\rangle=-\alpha\sum(2a_{i}^{\dagger}a_{i}-a_{i-1}^{\dagger}a_{i}-a_{i+1}^{\dagger}a_{i})|\psi\rangle=-\alpha\sum(a_{i}^{\dagger}-a_{i-1}^{\dagger})(a_{i}-a_{i-1})|\psi\rangle

دوره واکنش با توجه به اینکه ذرات nمی‌توانند بصورت مختلف n(n-1) واکنش نشان دهند، کاهش می‌یابد. بطوریکه احتمال فنا شدن یک جفت \lambda n(n-1)dt بوده و احتمال اینکه هیچ جفتی از بین نرود 1-\lambda n(n-1)dt می‌باشد. که می‌دهد:

\lambda\sum(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger}a_{i}^{\dagger}a_{i}a_{i})

بدست می‌آید:

\partial_{t}|\psi\rangle=-\alpha\sum(a_{i}^{\dagger}-a_{i-1}^{\dagger})(a_{i}-a_{i-1})|\psi\rangle+\lambda\sum(a_{i}^{2}-a_{i}^{+2}a_{i}^{2})|\psi\rangle

سایر واکنش‌ها را می‌توان به روشی مشابه در اینجا گنجاند.

این نوع عبارت به ما اجازه می‌دهد که از روشهای نظری میدان کوانتومی را در تجزیه و تحلیل سیستم‌های واکنش – پخش استفاده کنیم.

عملگرهای خلق و فنا در تئوریهای میدان کوانتومی[ویرایش]

در تئوریهای میدان کوانتومی و مسایل /چندگانه فرد بامجموع عبارات \gamma_ia_i^\pm\,, که در آن \gamma_i اعداد مرکب هستند کار می‌کند. در حالی که a_i^\pm عملگرهای خلق و فنا هستند که ویژه مقدارهای عملگرهای عددی را افزوده و یا کاهش می‌دهند؛ برای یک \sum a_i^+a_i^-\,, در شباهت با نوسانگر هارمونیک. شاخص‌های i رفتار زمان فضایی را منعکس کرده و دارای رده بالاتری هستند، e.g. چهار برابر ذرات بدون اسپین. عملگرهای عددیa_i^+a_i^-تمام مقدارهای صحیح غیرمنفی را می‌گیرند، n_i\in\{0,\,\,1,\,\,2,\,\,\dots \}\,, و رابطه‌های جابجایی غیر جزئی چنین هستند:  [a_i^-,a_j^+]:=a_i^-a_j^+-a_j^+a_i^-=\delta_{ij}\,, که در آن [. ,.] جابجایی است در حالی که \delta_{ij} دلتای کرونکر است.

این مسئله برای بوزونها صحت دارد، در حالی که برای فرمیونها جابجاگر بایستی با غیرجابجاگر جایگزین شوند، \{a_i^-,a_j^+\}:=a_i^-a_j^++a_j^+a_i^\,. در نتیجه در مورد فرمیونها، عملگر عددی a_i^+a_i^- تنها دارای ویژه مقدارهای ۰ و ۱ است.

منابع[ویرایش]