صورت‌گرایی پسانیوتنی پارامتری

صورت‌گرایی پسانیوتنی (به انگلیسی: post-Newtonian formalism) ابزاری محاسباتی است که معادلات (غیرخطی) گرانش اینشتین را بر حسب پایین‌ترین مرتبه مشتقات از قانون جهانی گرانش نیوتن بیان می‌کند. بدین طریق می‌توان تقریبی از معادلات اینشتین را برای میدانهای ضعیف به دست آورد. برای افزایش دقت می‌توان عبارتهای مرتبه بالاتررا افزود اما در مورد میدانهای قوی ترجیح برآن است که معادلات کامل با روش‌های عددی حل شوند. برخی از این تقریبهای پسانیوتنی بسط‌هایی از یک پارامتر کوچک هستند، که برابر با نسبت سرعت ماده تشکیل دهنده میدان گرانش به سرعت نور می‌باشد. در این مورد بهتر است آن را سرعت گرانش بنامیم.

صورت‌گرایی پسا-نیوتنی پارامتری (به انگلیسی: Parameterized post-Newtonian formalism) یا به اختصار صورت‌گرایی پی‌پی‌ان (به انگلیسی: PPN formalism)، نیز نسخه‌ای از این روش فرمولبندی است که صریحاً جزئیات پارامترهایی را بیان می‌کند که در آن‌ها نظریه گرانش نسبیت عام با گرانش نیوتنی تفاوت دارند. از این روش به عنوان ابزاری برای مقایسه گرانش اینشتینی و نیوتنی در محدوده میدان‌های ضعیف ایجاد شده توسط اجسام در حال حرکت با سرعت‌های کند نسبت به سرعت نور، استفاده می‌شود. به‌طور کلی صورت گرایی پی پی ان را می‌توان در مورد همه نظریه‌های متریکی گرانش که در همه آن‌ها اجسام از اصل هم‌ارزی اینشتین پیروی می‌کنند، به کار برد. در صورت گرایی پی پی ان، سرعت نور ثابت است و همچنین پنداشته می‌شود که تانسور متریک همواره متقارن است.

تاریخچه

نخستین پارامتری‌سازی‌های صورت‌گرایی پست‌نیوتنی توسط آرتور استنلی ادینگتون در سال ۱۹۲۲ انجام شد. این پارامترها تنها با میدان گرانش خلأ در اطراف یک جسم کروی منزوی سر و کار داشتند. دکتر کن نوردوت(۱۹۶۸و۱۹۶۹) آن را گسترش داد تا شامل هفت پارامتر باشد.

نمادگذاری بتا-دلتا

ده پارامتر پسا-نیوتنی به‌طور کامل رفتار میدان ضعیف نظریه را مشخص می‌نمایند. صورت گرایی ابزار با ارزشی در آزمونهای نسبیت عام بوده‌است. در نمادگذاریهای (Will (1971), Ni (1972 و(Misner et al. (1973 مقادیر زیر موجود است.

$\gamma$	چه میزان خمش در فضازمان $g_{ij}$ با یک واحد جرم سکون ایجاد می‌شود؟
$\beta$	چه میزان غیرخطی بودن درقانون برهم نهی برای گرانش $g_{00}$ وجود دارد؟
$\beta _{1}$	یک واحد انرژی جنبشی $\textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}$ چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
$\beta _{2}$	یک واحد انرژی پتانسیل گرانشی $\rho _{0}/U$ چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
$\beta _{3}$	یک واحد انرژی داخلی $\rho _{0}\Pi$ چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
$\beta _{4}$	یک واحد فشار $p$ چه اندازه گرانش تولید می‌کند؟
$\zeta$	تفاوت بین انرژی جنبشی شعاعی و عرضی در گرانش
$\eta$	تفاوت بین تنش شعاعی و عرضی در گرانش
$\Delta _{1}$	یک واحد تکانه $\rho _{0}v$ چه اندازه کشش چارچوبهای لخت $g_{0j}$ ایجاد می‌کند؟
$\Delta _{2}$	تفاوت بین تکانه شعاعی و عرضی در کشش چارچوبهای لخت

$g_{\mu \nu }$ تانسور متریک متقارن ۴ در ۴ و نمایه‌های $i$ و $j$ که از ۱ تا ۳ تغییر می‌کنند.

در نظریه اینشتین مقادیر این پارامترها به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که: (۱) با قانون گرانش نیوتن در حد سرعت‌ها و وقتی جرم به صفر میل می‌کند سازگار باشد، (۲) پایستگی جرم، انرژی، تکانه و تکانه زاویه‌ای حفظ شود، و (۳) معادلات از چارچوب مرجع استقلال پیدا کنند. در این نمادگذاری، نسبیت عام دارای پارامترهای پی پی ان $\gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1$ و $\zeta =\eta =0$ است.

نمادگذاری آلفا-زتا

در نمادگذاری جدیدتر (Will & Nordtvedt (1972 و (Will (1981, 1993, 2006 از مجموعه متفاوتی از ده پارامتر پی پی ان استفاده شده‌است.

$\gamma =\gamma$

$\beta =\beta$

$\alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4$

$\alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1$

$\alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta$

$\zeta _{1}=\zeta$

$\zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1$

$\zeta _{3}=\beta _{3}-1$

$\zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma$

$\xi$ از $3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}$ محاسبه می‌شود.

مفهوم این پارامترها این است که $\alpha _{1}$، $\alpha _{2}$ و $\alpha _{3}$ اندازه تأثیرات چارچوب برتر را اندازه می‌گیرند.$\zeta _{1}$، $\zeta _{2}$، $\zeta _{3}$، $\zeta _{4}$ و $\alpha _{3}$ شکست پایستگی انرژی، تکانه و تکانه زاویه‌ای را اندازه‌گیری می‌کنند.

در این نمادگذاری پارامترهای پی پی ان نسبیت عام عبارتند از:

$\gamma =\beta =1$ and $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0$

رابطه ریاضی بین متریک، پتانسیل‌های متریک و پارامترهای پی پی ان برای این نمادگذاری به قرار زیر است:

${\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}$

$g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})\;$

$g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})\;$

که در آن نمایه‌های تکرار شده جمع زده شده‌اند. $\epsilon$ در مرتبه پتانسیل‌هایی چون $U$، مجذور بزرگی سرعت‌های مختصاتی ماده و غیره، می‌باشد. $w^{i}$ بردار سرعت دستگاه مختصات پی پی ان نسبت به میانگین چارچوب سکون جهان است.$w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}$ مربع بزرگی این سرعت است. $\delta _{ij}=1$ اگر و تنها اگر $i=j$، در غیر این صورت $0$ خواهد بود.

ده پتانسیل متریکی وجود دارد، $U$، $U_{ij}$، $\Phi _{W}$، $A$، $\Phi _{1}$، $\Phi _{2}$، $\Phi _{3}$، $\Phi _{4}$، $V_{i}$ و $W_{i}$. یکی به ازای هر پارامتر تا وجود پاسخ یکتا را تضمین کنند. دستگاه‌های معادلات خطی ده معادله-ده مجهول با معکوس کردن یک ماتریس ۱۰x۱۰ حل می‌شود. این پتانسیل‌های متریکی به شکلهایی مانند زیر هستند:

$U=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'$

که به سادگی روش دیگری برای نوشتن پتانسیل گرانشی نیوتنی است.

سیاهه کاملی از پتانسیل‌های متریکی در (Misner et al. (1973 و (Will (1981, 1993, 2006 و بسیاری جاهای دیگر می‌توان یافت.

دقت در آزمونهای تجربی

کران‌های پارامترهای پی پی ان (Will (2006

پارامتر	کران	اثرها	آزمایش
$\gamma -1$	$2.3$ x $10^{-5}$	تأخیر زمانی، شکست نور	ردیابی کاسینی
$\beta -1$	$3$ x $10^{-3}$	جابجایی حضیض خورشیدی	جابجایی حضیض خورشیدی
$\beta -1$	$2.3$ x $10^{-4}$	اثر توردوت با فرض $\eta _{N}=4\beta -\gamma -3$	اثر نوردوت
$\xi$	$0.001$	حرکات کشندی زمین	داده‌های گرانی سنج
$\alpha _{1}$	$10^{-4}$	قطبش مدار	آزمایش محدوده بندی لیزری قمری
$\alpha _{2}$	$4$ x $10^{-7}$	حرکت تقدیمی اسپین	هماهنگی محور خورشید با دائرةالبروج
$\alpha _{3}$	$4$ x $10^{-20}$	خود-شتاب	آمار اسپین-پایین تپ اختر
$\eta _{N}$	$9$ x $10^{-4}$	اثر نوردوت	محدوده بندی لیزری قمری
$\zeta _{1}$	$0.02$	-	کران‌های پی پی ان ترکیب شده
$\zeta _{2}$	$4$ x $10^{-5}$†	شتاب تپ اختر دوتایی	پی‌اس‌آر بی۱۹۱۳+۱۶
$\zeta _{3}$	$10^{-8}$	قانون سوم نیوتن	شتاب قمری
$\zeta _{4}$	$0.006$‡	-	آزمایش کروزر

† Will, C.M. , Is momentum conserved? A test in the binary system PSR 1913 + 16, Astrophysical Journal, Part 2 - Letters, vol. 393, no. 2, July 10, 1992, p. L59-L61.

‡ بر پایه $6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}$ از Will (1976, 2006). از لحاظ نظری ممکن است که یک نظریه گرانشی جایگزین از این کران بگذرد، که در آن صورت $|\zeta _{4}|<0.4$ از (Ni (1972.

منابع

• Eddington, A. S. (1922) The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press.
• Misner, C. W. , Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.
• Nordtvedt Jr, K. (1968) Equivalence principle for massive bodies II: Theory, Phys. Rev. 169, 1017-1025.
• Nordtvedt Jr, K. (1969) Equivalence principle for massive bodies including rotational energy and radiation pressure, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
• Will, C. M. (1971) Theoretical frameworks for testing relativistic gravity II: Parameterized post-Newtonian hydrodynamics and the Nordtvedt effect, Astrophys. J. 163, 611-628.
• Will, C. M. (1976) Active mass in relativistic gravity: Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment, Astrophys. J. ، 204, 224-234.
• Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6.
• Will, C. M. ، (2006) The Confrontation between General Relativity and Experiment, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Will, C. M. , and Nordtvedt Jr. , K (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757.