شبکه مرتب‌سازی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از شبکه‌های مرتب‌سازی)
پرش به: ناوبری، جستجو
یک شبکه مرتب‌سازی ساده شامل چهار سیم و پنج اتصال دهنده

شبکه مرتب‌سازی یک مدل انتزاعی ریاضی شامل شبکه ای از سیم‌ها و واحدهای مقایسه کننده است که برای مرتب‌سازی رشته‌ای از اعداد از آن استفاده می شود. هر مقایسه کننده دو سیم را به هم متصل می‌کند و مقادیر را با قرار دادن مقدار کوچکتر به یکی از سیم‌ها و مقدار بزرگتر به سیم دیگر، مرتب می کند. اصلی‌ترین تفاوت میان شبکه مرتب‌سازی و الگوریتم مرتب‌سازی این است که ترتیب مقایسه‌ها بدون در نظر گرفتن نتیجه مقایسه‌های قبلی، از قبل مشخص شده است. استقلال میان ترتیب مقایسه‌ها برای اجرای موازی الگوریتم‌ها مفید خواهد بود. علی‌رغم سادگی مدل آن، تئوری مرتب‌سازی شبکه ای بسیار پیچیده و دارای مفاهیم عمیقی است.

آشنایی مقدماتی[ویرایش]

یک شبکه مرتب‌سازی شامل دو عنصر است، مقایسه کننده‌ها و سیم ها. هر سیم دارای یک مقدار می باشد، و هر مقایسه کننده دو سیم را به عنوان ورودی و خروجی می گیرد. زمانی که دو مقدار وارد مقایسه کننده می شود، مقایسه کننده مقدار کوچکتر را در سیم بالاتر، و مقدار بزرگتر را در سیم پایین قرار می دهد. به شبکه ای از سیم‌ها و مقایسه کننده‌ها که به طور صحیح تمام مقادیر ورودی را به صورت صعودی مرتب کنند یک شبکه مرتب‌سازی گفته می شود. مراحل انجام یک مرتب‌سازی شبکه ای ساده در شکل زیر نشان داده شده است. فهم چگونگی صحیح عمل نمودن این شبکه مرتب‌سازی آسان است، این را مدنظر داشته باشید که مقایسه کننده‌ها مقدار بزرگ را به سیم پایین و مقدار کوچک را به سیم بالا منتقل می کنند. و در نهایت آخرین مقایسه کننده دو سیم میانی را مرتب می کند. SimpleSortingNetworkFullOperation.svg

شبکه‌های درجی و انتخابی[ویرایش]

به راحتی می توان با استفاده از اصول درجی و انتخابی به صورت بازگشتی یک شبکه با اندازه دلخواه ایجاد کرد. با فرض این که یک شبکه مرتب‌سازی با اندازه n داریم، می توانیم با درج یک عدد اضافی به زیر شبکه مرتب شده ( با استفاده از اصول مرتب‌سازی درجی)، یک شبکه مرتب‌سازی با اندازه n+۱ بسازیم. همین کار را می توانیم به شکل دیگری انجام دهیم، ابتدا کوچکترین مقدار ورودی‌ها را انتخاب می کنیم، سپس مقادیر باقی‌مانده را به صورت بازگشتی مرتب می کنیم ( با استفاده از اصول مرتب‌سازی حبابی).

یک شبکه مرتب‌سازی بازگشتی براساس مرتب‌سازی حبابی
یک شبکه مرتب‌سازی بازگشتی براساس مرتب‌سازی درجی

ساختار این دو مرتب‌سازی شبکه ای بسیار شبیه یکدیگر است، با نمایش همزمان روند انجام مقایسه‌ها توسط مقایسه کننده‌ها عملاً می توان گفت که این دو یکی هستند.

شبکه مرتب‌سازی حبابی
شبکه مرتب‌سازی درجی
با مقایسه کننده های موازی، مرتب‌سازی درجی و حبابی مثل هم خواهند بود

شبکه‌های کارآمد[ویرایش]

شبکه درجی عمقی، به اندازه (O(n دارد، بنابراین استفاده از آن در عمل به صرفه نیست. شبکه‌های ساده ای وجود دارند با عمق O(log n)2 و اندازه O(n (log n)2)، مانند مرتب‌سازی ادغامی دسته‌ای فرد-زوج، مرتب‌سازی بایتونیک، و مرتب‌سازی صدفی. در عمل از این شبکه‌ها استفاده می شود.

اصل صفر و یک[ویرایش]

اثبات صحیح بودن بعضی از شبکه‌های مرتب‌سازی مثل شبکه مرتب‌سازی درجی و حبابی آسان است، اما همیشه اینگونه نیست. برای یک شبکه n سیمه، !n جایگشت از اعداد خواهیم داشت، و امتحان کردن تمام آنها نیاز به زمان بسیار زیادی دارد، به خصوص در شبکه‌های بزرگتر. اما با استقاده از اصل صفر و یک تعداد دفعات امتحان به طور چشمگیری کاهش پیدا می کند.

اصل صفر و یک بیان می‌کند که یک شبکه مرتب‌سازی زمانی صحیح عمل کرده اگر بتواند رشته ای از صفرها و یک‌ها که تعدادشان 2^n است مرتب کند. با استفاده از این اصل می توان تعداد تست‌های لازم برای مشخص کردن صحیح بودن شبکه را به طور چشمگیری کاهش داد، و هم چنین در ساختن شبکه‌های مرتب‌سازی مختلف موثر خواهد بود.

روش اثبات آن یک حالت خاص از نظریه بوریسیوس است که در سال ۱۹۴۵ توسط بوریسیوس اثبات شد.

مرتب‌سازی بهینه[ویرایش]

کارایی یک شبکه مرتب‌سازی را می توان با استفاده از اندازه کل آن ( تعداد مقایسه کننده‌های استفاده شده)، یا با استفاده از عمقش (حداکثر تعداد مقایسه کننده هایی که در مسیر یک ورودی به خروجی قرار دارند)، اندازه گیری کرد. بهترین شبکه مرتب‌سازی شناخته شده، شبکه AKS است که از حروف اول کاشفان آن، اجتا، کاملوس، و سمیردای گرفته شده است. این شبکه دارای عمق O(log n) و اندازه O(n log n) برای n ورودی است، که بهینه می باشد. نسخه ساده شده شبکه AKS توسط پترسن توصیف شده است. کشف این شبکه پیشرفت نظری بزرگی بود، اما در عمل نمی توان از آن استفاده کرد زیرا در O ضرایب خطی بزرگی پنهان هستند. این‌ها همه به خاطر ساخت یک گراف بسط دهنده است. یافتن شبکه مرتب‌سازی با اندازه cn log n برای cهای کوچک کماکان یکی از مسائل حل نشده و در حال بررسی است. برای تعداد ورودی‌های بین ۱ و ۸، شبکه‌های مرتب‌سازی بهینه پیدا شده اند. هر کدام به ترتیب ۰،۱،۳،۵،۹،۱۲،۱۶، و ۱۹ مقایسه کننده دارند ( نوث، سال ۱۹۹۷). عمق بهینه برای ده ورودی نیز محاسبه شده که به ترتیب ۰،۱،۳،۳،۵،۵،۶،۶،۷،۷ می باشند.

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]