زاویه

برای دیگر کاربردها، زاویه (ابهام‌زدایی) را ببینید.

نماد زاویه

زاویه یا گوشه یکی از مفاهیم هندسه است و به ناحیه‌ای از صفحه گفته می‌شود که بین دو نیم‌خط که سر مشترک دارند محصور شده‌است. به سر مشترک این دو نیم‌خط راس زاویه یا گوشه می‌گویند. بزرگی یک زاویه «مقدار چرخشی» (دورانی) است که دو نیم‌خط از گوشهٔ زاویه نسبت به یکدیگر دارند، با بدست آوردن طول کمانی تولید شده در اثر چرخش می‌توان اندازهٔ زاویه را بدست آورد.

در انگلیسی واژهٔ angle از واژهٔ لاتین angulus به معنی گوشه گرفته شده‌است.

اندازه‌گیری

The angle θ is the quotient of s and r.

برای اندازه‌گیری زاویهٔ θ باید کمانی از دایره، که مرکز دایره بر روی راس زاویه می‌افتد را رسم کرد، برای نمونه می‌توان بوسیلهٔ پرگاری که سوزن آن بر روی راس زاویه قرار دارد یک کمان کشید، اگر طول این کمان را s بنامیم، شعاع دایرهٔ یادشده برابر با r خواهد بود و k یک عدد ثابت است که بسته به یکایی که برای اندازه‌گیری در نظر گرفته‌ایم مقدار آن تعیین می‌شود.

$\theta = k \frac{s}{r}.$

مقدار زاویه θ مستقل از بزرگی کمان دایره‌ای است که کشیده‌ایم چون به همان اندازه که کمان دایره بزرگ یا کوچک شود شعاع دایره نیز با همان نسبت بزرگ یا کوچک می‌شود درنتیجه s/r نسبتی همواره ثابت است.

یکاها

روش‌های گوناگونی برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد که پراستفاده ترین آن‌ها رادیان و درجه است. به جز رادیان، دیگر یکاهای اندازه‌گیری زاویه همگی نسبتی از یک دایرهٔ کامل اند (مانند یک دور). به این ترتیب یک دایره به n قسمت تقسیم شده‌است تنها در یکاهای مختلف مقدار n با دیگری فرق می‌کند. برای نمونه در یکای درجه n = 360 است. مقدار $k$ که در رابطهٔ بالا گفته شد برابر است با $k = \frac{n}{2 \pi}.$. (اثبات: رابطهٔ بالا را می‌توان به صورت $k = \frac{\theta r}{s}.$ بازنویسی کرد. در یک دور که در آن θ برابر با n یکا است (کل یک دایره با همهٔ n قسمتش) کمانی که به آن متناظر می‌شود کل دایره‌است پس طول کمان یا s برابر با محیط دایره یا ۲πr است. با جایگذاری n برای θ و ۲πr برای s خواهیم داشت که: $k = \frac{nr}{2 \pi r} = \frac{n}{2 \pi}$ است.)

• دور (یا یک دایرهٔ کامل، یک چرخش یا یک گردش یا یک دایره) یک دایرهٔ کامل است. یک دور را می‌توان به صورت یکاهای صدم دور و هزارم دور نیز بیان کرد. بسته به کاربرد یک دور را با $\tau$ یا rev یا rot نیز نمایش می‌دهند. ولی در عبارت rpm (دور بر دقیقه) تنها حرف r نماد یک دور است. یک دور = °۳۶۰ = ۲π رادیان = چهار زاویهٔ راست‌گوشه
• چارک (به انگلیسی: quadrant)‏ برابر است با یک چهارم دور برای نمونه زاویهٔ راست یکایی است که در کتاب اصول اقلیدوس از آن استفاده شده‌است. یک چارک = °۹۰ = π/۲ rad = یک چهارم دور = ۱۰۰ gon است. در زبان آلمانی از نماد ^∟ برای نشان دادن چارک استفاده می‌کنند.
• زاویهٔ مثلث متساوی الاضلاع برابر با ۱/۶ دور است. این یکا در گذشتهٔ دور در تمدن بابل کاربرد داشت. یکاهای درجه، دقیقهٔ یک کمان و ثانیهٔ یک کمان زیریکاهای یکای بابِلی اند. یک یکای بابلی = °۶۰ = π/۳ رادیان ≈ تقریبا ۱٫۰۴۷۱۹۷۵۵۱ رادیان

θ = s/r rad = 1 rad.

• یک رادیان، زاویه‌ای است که منطبق است با کمان دایره‌ای که طول کمان با شعاع دایره برابر است (یعنی در رابطه‌ای که پیش‌تر در بالا بیان شد k = 1 است.). یک دور برابر است با ۲π رادیان و یک رادیان خود ۵۷٫۲۹۵۸ درجه یا $\frac{180}{\pi}.$ درجه‌است. رادیان را برای کوتاه تر نوشت به صورت rad نشان می‌دهند. رادیان، بی بُعد است. در بیشتر کاربردهای ریاضی بویژه در تابع‌های مثلثاتی از رادیان استفاده می‌شود. همچنین در سامانهٔ استاندارد بین‌المللی یکاها رادیان برای نشان دادن اندازهٔ زاویه انتخاب شده‌است.
• در اندازه‌گیری زاویه، بویژه در ستاره‌شناسی یک زاویه ساعت (به انگلیسی: hour angle)‏ برابر با 1/24 دور در نظر گرفته می‌شود. این یکا جوابگوی نیازهای ستاره‌شناسی برای یافتن محل جرم‌های آسمانی است که می‌گردند و تنها یک بار در روز از جلوی دید رد می‌شوند (مانند جای نسبی ستاره‌ها) زیریکاهای زاویه ساعت عبارتند از دقیقهٔ زمان (به انگلیسی: minute of time)‏ و ثانیهٔ زمان (به انگلیسی: second of time)‏. یادآوری می‌شود که این یکاها متفاوت از یکای دقیقه و ثانیهٔ کمان اند (به انگلیسی: minutes of arc)‏ و (به انگلیسی: seconds of arc)‏ و مقدار این زیریکاها تقریبا 15 بار بزرگتر از دقیقه و ثانیهٔ کمان است. 1 ساعت = °15 = π/12 رادیان = 1/6 چارک = 1/24 دور ≈ 16.667 gon

انواع زاویه

• زاویه حاده (تندگوشه) به زوایای کمتر از نود درجه گفته می‌شود.
• زاویه قائمه (راست‌گوشه) به زوایای ۹۰ درجه گفته می‌شود.
• زاویه مُنفَرجه (بازگوشه) به زوایای بیشتر از نود درجه گفته می‌شود.

منبع

ویکی‌پدیای انگلیسی