ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای

ریشه‌یابی معادلات روش‌های یافتن ریشه‌های یک معادله ( The roots of an equation ) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات می‌باشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف می‌کنند، ریشه‌های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر می‌گیرند.

برای مثال ریشه‌های معادله ی فرضی $ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+....+C=y$ نسبت به محور xها در واقع مجموعه‌ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها می‌باشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع می‌باشند یعنی دارای عرض صفر هستند، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم

حل معادله درجهٔ اول

برای پیدا کردن ریشه‌های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر $y_2-y_1 = mx$ می‌باشد که در آن $y_2$ عرض اصلی ، $y_1$ عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار می‌باشد، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت $y = mx + h$ نمایش داده می‌شود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده می‌شود

روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :

چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور xها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :

$mx + h = 0$

با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :

$mx = -h$

$x = {-h \over m}$

و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.

حل معادلات درجهٔ دوم

همانند حل معادلات درجهٔ اول برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور xها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم، پس داریم :

$ax^2+bx+c = 0$

با حل معادله ی فوق مقادیر x را بدست می آوریم، توجه کنید که a برابر با صفر نمی‌تواند باشد چون در این صورت معادله از نوع درجه اول می‌شود. پس با شرط a≠0 معادله را حل می کنیم :

$a(x^2+ {b \over a} x+ {c\over a}) = 0$

اگر ضرب چند عبارت برابر با صفر باشد پس حداقل یکی از آن‌ها صفر است، از آنجا که a بنا بر شرط اولیه نمی‌تواند صفر باشد پس عبارت داخل پرانتر صفر می‌باشد، پس داریم :

$x^2+ {b \over a} x+ {c\over a} = 0$

برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می کنیم :

$( x^2 + {b \over a} x ) + {c \over a} = 0$

$( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2 \over 4a^2} + {c \over a} = 0$

$( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2-4ac \over 4a^2} = 0$

$( x + {b \over 2a} )^2 = {b^2-4ac \over 4a^2}$

حالا از طرفین معادله جذر می گیریم تا مقدار x را درآوریم :

$( x + {b \over 2a} ) = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a^2}$

$x = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a^2} - {b \over 2a}$

$x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

در نتیجه معادله دارای 2 ریشهٔ زیر می‌باشد:

$x_1 = {-b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

$x_2 = {-b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

معمولاً عبارت $\sqrt{b^2-4ac}$ را برابر با حرف دلتای بزرگ $\Delta$ نمایش می‌دهند، دلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.

طبق قضیهٔ تثلیث دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند :

1 - $\Delta > 0$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد

2 - $\Delta = 0$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد

3 - $\Delta < 0$ که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همانطور که می دانید فاصله عددی منفی نمی‌تواند باشد، از سوی دیگر از آنجا که $\Delta$ در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها می‌تواند مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر را اختیار کند

حالت‌های خاص و نکات معادلات درجهٔ دوم

در معادلهٔ کلی $ax^2+bx+c = 0$، اگر :

1 - c=0 باشد : یک ریشه صفر و دیگری برابر با ${-b \over a }$ است.

اثبات ( شرط : a≠0 و c=0 ) :

$ax^2+bx = 0$

$a(x^2+ {b \over a} x) = 0$

$x(x+{b \over a}) = 0$

$x_1 = 0 , x_2 = {-b \over a}$

2 - جمع 3 ضریب ( a,b,c ) برابر صفر باشد : یک ریشه +1 و دیگری $c\over a$ خواهد بود

اثبات ( شرط : a≠0 و a+b+c=0 ) :

$x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}$

طبق فرض : a+b+c = 0 پس : a+c = -b

$x = {(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac} \over 2 a}$ بد نیست که در باره ای ریشه مضاعف بشتر بدانیم: از نظر جبری ریشه مضاعف ریشه ای است که زوج بار عبارت را صفر کند و ریشه ساده ریشه ای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند ((البته در معادلاتی نظیر 2^(x-1) همین تعریف کافی است ولی در دو طرف ریشه ساده علامت تابع فرق می کند ولی در دو طرف ریشه مضاعف علامت تابع یکسان است از نظر هندسی اگر بر محور طول ها طوری مماس شود که دو طرف نقطه در یک طرف محور طول ها بیفتد ریشه مضاعف داریم این نکته را فراموش نکنید که اگر رشه معادلات درجه دو مضاعف باشد آن معادله مربع کامل است $x = {(a+c)\pm\sqrt{(a^2+c^2+2ac)-4ac} \over 2 a}$

$x = {(a+c)\pm\sqrt{a^2+c^2-2ac} \over 2 a}$

$x = {(a+c)\pm\sqrt{(a-c)^2} \over 2 a}$

$x = {(a+c)\pm{(a-c)} \over 2 a}$

$x_1 = {(a+c)+{(a-c)} \over 2 a} , x_2 = {(a+c)-{(a-c)} \over 2 a}$

$x_1 = {2a \over 2 a} = 1 , x_2 = {2c \over 2 a} = {c \over a}$

3 - a-b+c = 0 : یک ریشه -1 و دیگری $-c\over a$ خواهد بود

اثبات ( شرط : a≠0 و a-b+c=0 ) :

همانند روش بالا اثبات خواهد شد

4 - اگر دلتای ریشه‌های یک معادله برابر صفر باشد معادله تنها دارای یک جواب ( ریشه مضاعف ) $-b \over 2 a$ خواهد بود.

اثبات ( شرط : a≠0 و $\Delta=0$ )

$x = {-b\pm\sqrt{\Delta} \over 2 a}$

$x = {-b\pm\sqrt{0} \over 2 a}$

$x = {-b \over 2 a}$

نکته : همانطور که می دانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطهٔ تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه تنها می‌تواند نقطهٔ مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم :

$ax^2+bx+c = 0$

با گرفتن مشتق داریم :

$2ax+b = 0$

$2ax = -b$

$x = {-b\over 2a}$

همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادلهٔ درجه دوم $-b\over a$ است . ضمن اینکه ضرب دو ریشهٔ معادلهٔ درجه دوم از رابطهٔ $c\over a$ به دست می آید.^{[نیازمند منبع]}

حدس زدن حدود ریشه‌ها

از روی تغییر علامت تابع

حدود ریشه‌های یک معادله را می‌توان با چک کردن مقادیر مختلف در آن بدست آورد، اگر :

1 - اگر تابع در بازهٔ (a,b) پیوسته باشد. 2 - اگر به ازای دادن دو مقدار $x_1$ و $x_2$، جواب از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر علامت داد، آن گاه حداقل یک جواب بین $x_1$ و $x_2$ برای این معادله وجود دارد، بدیهی است که اگر با دادن مقداری جواب صفر گردد همانطور که قبلاً گفته شد آن مقدار ریشهٔ معادله است.

استدلال روش و مثال

فرض کنیم که تابع f با ظابطهٔ $f(x) = x^2 - 2^x$( این معادله از معادلات بسیار معروفی است که با این روش ریشهٔ دیگر آن بین (0,-1) حدس زده می‌شود ) است و می دانیم که نمودار این تابع در بازهٔ [0,-1] پیوسته می‌باشد، در این صورت اگر معادله تغییر علامت دهد ( از مثبت، منفی یا از منفی مثبت شود ) یعنی روی محور عرض‌ها از yهای منفی به yهای مثبت یا از yهای مثبت به yهای منفی رفته است و چون پیوسته است پس حتماً در این بین از y=0 نیز گذشته است پس در این بین ریشه دارد.

حال برای پیدا کردن حدود ریشه‌هایش شروع به مقدار دهی می کنیم:

$f(-1) = (-1)^2 - 2^{(-1)} = +1 - {1\over 2} = {1\over 2}$

$f(-1) > 0$

$f(0) = (0)^2 - 2^{(0)} = 0 - 1 = -1$

$f(0) < 0$

همانطور که می بینید تابع به ازای (f(-1 مثبت بوده و به ازای (f(0 منفی شده است، پس در این بین تغییر علامت داده و ریشه دارد .

با تکرار این روش می‌توانیم به ریشهٔ معادله نزدیک و نزدیک تر شویم.

همچنین با استفاده از مشتق و روش نیوتن نیز بسته به شرایط می‌توان همین کار را انجام داد که در ادامه بحث خواهد شد

حل معادلات درجهٔ چهار به بالا

بعد از ارائه گروه گالوا و نظریه گالوا توسط اواریست گالوا، دانشمند فرانسوی، آبل و روفینی در اثبات معروف خودشان اثبات کردند: 1.فقط در معادلاتی می‌توان تمام ریشه‌ها را به صورت دقیق به دست آورد که گروه گالوا در آن حل پذیر باشند. 2.در معادلات درجهٔ چهار به بالا(یعنی پنج، شش، هفت و... خود چهار محسوب نمی‌شود.) نمی‌توان همهٔ ریشه‌ها را به صورت دقیق بر حسب ضرایب مجهول بدست آورد.

برای معادلات درجه بالاتر از روشهای عدد گذاری همچون عددگذاری نیوتون استفاده می‌کنند.

منبع

• E. M. Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type, Publisher: Amer Mathematical Society , 1998