ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

ریشه‌یابی معادلات روش‌های یافتن ریشه‌های یک معادله ( The roots of an equation ) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات می‌باشد. به طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف می‌کنند، ریشه‌های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر می‌گیرند.

برای مثال ریشه‌های معادله ی فرضی ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+....+C=y نسبت به محور xها در واقع مجموعه‌ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها می‌باشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع می‌باشند یعنی دارای عرض صفر هستند، بدین منظور باید مقدار x را در معادله ای که عرض ( y ) آن صفر است درآوریم

حل معادله درجهٔ اول[ویرایش]

برای پیدا کردن ریشه‌های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر y_2-y_1 = mx می‌باشد که در آن y_2 عرض اصلی ، y_1 عرض اولیه ، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار می‌باشد، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت y = mx + h نمایش داده می‌شود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده می‌شود

روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است :

چون می خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور xها را پیدا کنیم عرض آن ( y ) را برابر صفر قرار می دهیم و داریم :

mx + h = 0

با حل معادله ی فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می آوریم :

mx = -h

x = {-h \over m}

و می بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن. بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.

حل معادلات درجهٔ دوم[ویرایش]

همانند حل معادلات درجهٔ اوّل برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور xها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن یعنی y را برابر صفر قرار می‌دهیم، پس داریم:

ax^2+bx+c = 0

سپس با حل معادله‌ی فوق مقادیر x را به‌دست می‌آوریم. توجّه کنید که a نمی‌تواند برابر با صفر باشد زیرا در این صورت معادله از نوع درجه‌ی اوّل می‌شود. پس با شرط a\neq 0 معادله را حل می‌کنیم:

a(x^2+ {b \over a} x+ {c\over a}) = 0

اگر ضرب چند عبارت برابر صفر شود، به این معنی است که حداقل یکی از عبارت‌ها صفر است، و از آنجا که ما a \neq 0 را شرط اوّلیه قرار دادیم، پس آخرین عبارت مانده، یعنی همان عبارت داخل پرانتر صفر است، که داریم:

x^2+ {b \over a} x+ {c\over a} = 0

برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می‌کنیم:

( x^2 + {b \over a} x ) + {c \over a} = 0

( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2 \over 4a^2} + {c \over a} = 0

( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2-4ac \over 4a^2} = 0

( x + {b \over 2a} )^2 = {b^2-4ac \over 4a^2}

حالا از طرفین معادله جذر می‌گیریم تا مقدار x را به‌دست آوریم:

( x + {b \over 2a} ) = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a^2}

x = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a^2} - {b \over 2a}

x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

در نتیجه معادله دارای دو ریشهٔ زیر می‌باشد:

x_1 = {-b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

x_2 = {-b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

معمولاً عبارت \sqrt{b^2-4ac} را برابر با حرف دِلتای بزرگ \Delta نمایش می‌دهند، دِلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.

طبق قضیهٔ تثلیث[نیازمند منبع] دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند:

  • الف) \Delta> 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشهٔ مختلف دارد.
  • ب) \Delta = 0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشهٔ مضاعف دارد.
  • ج) \Delta <0 که در آن صورت فاصلهٔ بین دو ریشه عددی منفی است و همان‌طور که می‌دانید فاصله نمی‌تواند[نیازمند منبع] عددی منفی باشد، و از سوی دیگر از آنجا که \Delta در زیر رادیکالی با فرجهٔ زوج است تنها می‌تواند مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر را اختیار کند.

حالت‌های خاص و نکات معادلات درجهٔ دوم[ویرایش]

در معادلهٔ کلی ax^2+bx+c = 0

۱) اگر c=0 باشد، یک ریشه صفر 0 و دیگری برابر با {-b \over a } است.
در معادله‌ی زیر، شرط است a\neq 0 و c = 0 باشد.

ax^2+b+c = ax^2+bx+0 = 0

و چون c=0 است پس به‌جای ax^2+bx+0 = 0 می‌نویسیم:

ax^2+bx = 0

و در ادامه:

a(x^2+ {b \over a} x) = 0

x(x+{b \over a}) = 0

x_1 = 0  ,  x_2 = {-b \over a}

۲) اگر حاصل‌جمع a, b, c برابر صفر شود، یعنی a+b+c=0 در این صورت یکی از ریشه‌ها +1 و دیگری c\over a خواهد بود.

اثبات (شرط: a\neq0 و a+b+c=0):

x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

طبق فرض : a+b+c=0 پس : a+c=-b

x = {(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac} \over 2 a}

خوب است که در باره‌ی ریشه‌ی مضاعف بشتر بدانیم:

از نظر جبری ریشه‌ی مضاعف ریشه‌ای است که زوج بار عبارت را صفر کند و ریشه‌ی ساده ریشه‌ای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند ((البته در معادلاتی نظیر (x-1)^2 همین تعریف کافی است ولی در دو طرف ریشه ساده علامت تابع فرق می‌کند ولی در دو طرف ریشه مضاعف علامت تابع یکسان است از نظر هندسی اگر بر محور طول ها طوری مماس شود که دو طرف نقطه در یک طرف محور طول ها بیفتد ریشه مضاعف داریم این نکته را فراموش نکنید که اگر ریشه معادلات درجه دو مضاعف باشد آن معادله مربع کامل است.

x = {(a+c)\pm\sqrt{(a^2+c^2+2ac)-4ac} \over 2 a}

x = {(a+c)\pm\sqrt{a^2+c^2-2ac} \over 2 a}

x = {(a+c)\pm\sqrt{(a-c)^2} \over 2 a}

x = {(a+c)\pm{(a-c)} \over 2 a}

x_1 = {(a+c)+{(a-c)} \over 2 a}   ,     x_2 = {(a+c)-{(a-c)} \over 2 a}

x_1 = {2a \over 2 a} = 1   ,     x_2 = {2c \over 2 a} = {c \over a}

۳) a-b+c = 0 : یک ریشه -1 و دیگری -c\over a خواهد بود

اثبات (شرط : a\neq 0 و a-b+c=0) همانند روش بالا اثبات خواهد شد.

۴) اگر دلتای \Delta ریشه‌های یک معادله برابر صفر باشد، معادله تنها دارای یک جواب -b \over 2 a خواهد بود. (ریشه‌ی مضاعف خواهد داشت، یعنی هردو x جواب معادله، باهم برابر می‌شوند.)

اثبات ( شرط : a\neq 0 و \Delta=0 )

x = {-b\pm\sqrt{\Delta} \over 2 a}

x = {-b\pm\sqrt{0} \over 2 a}

x = {-b \over 2 a}

نکته: همانطور که می دانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطهٔ تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه تنها می‌تواند نقطهٔ مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم :

ax^2+bx+c = 0

با گرفتن مشتق داریم:

2ax+b = 0

2ax = -b

x = {-b\over 2a}

همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادلهٔ درجه دوم   -b\over a است. ضمن اینکه ضرب دو ریشهٔ معادلهٔ درجه دوم از رابطهٔ  c\over a به‌دست می‌آید.[نیازمند منبع]

حدس زدن حدود ریشه‌ها[ویرایش]

از روی تغییر علامت تابع[ویرایش]

حدود ریشه‌های یک معادله را می‌توان با چک کردن مقادیر مختلف در آن بدست آورد، اگر :

1 - اگر تابع در بازهٔ (a,b) پیوسته باشد. 2 - اگر به ازای دادن دو مقدار x_1 و x_2، جواب از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر علامت داد، آن گاه حداقل یک جواب بین x_1 و x_2 برای این معادله وجود دارد، بدیهی است که اگر با دادن مقداری جواب صفر گردد همانطور که قبلاً گفته شد آن مقدار ریشهٔ معادله است.

استدلال روش و مثال[ویرایش]

فرض کنیم که تابع f با ظابطهٔ f(x) = x^2 - 2^x( این معادله از معادلات بسیار معروفی است که با این روش ریشهٔ دیگر آن بین (0,-1) حدس زده می‌شود ) است و می دانیم که نمودار این تابع در بازهٔ [0,-1] پیوسته می‌باشد، در این صورت اگر معادله تغییر علامت دهد ( از مثبت، منفی یا از منفی مثبت شود ) یعنی روی محور عرض‌ها از yهای منفی به yهای مثبت یا از yهای مثبت به yهای منفی رفته است و چون پیوسته است پس حتماً در این بین از y=0 نیز گذشته است پس در این بین ریشه دارد.

حال برای پیدا کردن حدود ریشه‌هایش شروع به مقدار دهی می کنیم:

f(-1) = (-1)^2 - 2^{(-1)} = +1 - {1\over 2} = {1\over 2}

f(-1)> 0

f(0) = (0)^2 - 2^{(0)} = 0 - 1 = -1

f(0) <0

همانطور که می بینید تابع به ازای (f(-1 مثبت بوده و به ازای (f(0 منفی شده است، پس در این بین تغییر علامت داده و ریشه دارد .

با تکرار این روش می‌توانیم به ریشهٔ معادله نزدیک و نزدیک تر شویم.

همچنین با استفاده از مشتق و روش نیوتن نیز بسته به شرایط می‌توان همین کار را انجام داد که در ادامه بحث خواهد شد

حل معادلات درجهٔ چهار به بالا[ویرایش]

بعد از ارائه گروه گالوا و نظریه گالوا توسط اواریست گالوا، دانشمند فرانسوی، آبل و روفینی در اثبات معروف خودشان اثبات کردند: 1.فقط در معادلاتی می‌توان تمام ریشه‌ها را به صورت دقیق به دست آورد که گروه گالوا در آن حل پذیر باشند. 2.در معادلات درجهٔ چهار به بالا(یعنی پنج، شش، هفت و... خود چهار محسوب نمی‌شود.) نمی‌توان همهٔ ریشه‌ها را به صورت دقیق بر حسب ضرایب مجهول بدست آورد.

برای معادلات درجه بالاتر از روشهای عدد گذاری همچون عددگذاری نیوتون استفاده می‌کنند.

منابع[ویرایش]

  • E. M. Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type, Publisher: Amer Mathematical Society , 1998