روش شیب افت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

روش شیب افت یکی از روش های تحلیل سازه‌ها برای تحلیل تیرها و قاب ها می باشد که در سال ۱۹۱۵ توسط جورج منی [۱] ابداع شده است. تا قبل از معرفی روش توزیع لنگر، روش شیب افت به مدت یک دهه به صورت گسترده ای برای تحلیل سازه ها مورد استفاده قرار می گرفت.

آشنایی[ویرایش]

در روش شیب افت با جایگزینی معادلات شیب افت در معادلات تعادل، میزان دوران در گره های سازه به دست می آید و سپس با جایگزینی دوران های به دست آمده در معادلات شیب افت، مقدار لنگر در انتهای عضو های سازه تعیین می شود.

معادلات شیب افت[ویرایش]

معادلات شیب افت مقدار لنگر در انتهای اعضای سازه را بر حسب دوران گره های سازه بیان می کنند. معادلات شیب افت برای عضو ab به طول L_{ab} و سختی خمشی E_{ab} I_{ab} به صورت زیر نوشته می شوند:

M_{ab} = \frac{E_{ab} I_{ab}}{L_{ab}} \left( 4 \theta_a + 2 \theta_b - 6 \frac{\Delta}{L_{ab}} \right)
M_{ba} = \frac{E_{ab} I_{ab}}{L_{ab}} \left( 2 \theta_a + 4 \theta_b - 6 \frac{\Delta}{L_{ab}} \right)

در این معادلات \theta_a, \theta_b به ترتیب نشان دهنده شیب در انتهای a و b عضو (دوران گره های a و b) هستند و \Delta میزان تغییر مکان نسبی بین دو انتهای a و b عضو می باشد. عدم وجود سطح مقطع عضو در این معادلات بیانگر آنست که روش شیب افت از اثر تغییرشکل های محوری و برشی چشم پوشی می کند. معادلات شیب افت همچنین می توانند با استفاده از ضریب سختی K=\frac{I_{ab}}{L_{ab}} و زاویه دوران عضو \psi =\frac{ \Delta}{L_{ab}} به این شکل نوشته شوند:

M_{ab} = 2E_{ab} K \left( 2 \theta_a + \theta_b - 3 \psi \right)
M_{ba} = 2E_{ab} K \left( \theta_a + 2 \theta_b - 3 \psi \right)

به دست آوردن معادلات شیب افت[ویرایش]

هنگامی که لنگرهای متمرکز M_{ab} و M_{ba} در جهت عقربه های ساعت در دو انتهای یک تیر به طول L_{ab} و سختی خمشی E_{ab} I_{ab} وارد می شوند، دوران دو انتهای تیر نیز در همان جهت عقربه های ساعت خواهد بود. مقدار این دوران ها با استفاده از روش کار مجازی به صورت زیر محاسبه می شود:

\theta_a - \frac{\Delta}{L_{ab}}= \frac{L_{ab}}{3E_{ab} I_{ab}} M_{ab} - \frac{L_{ab}}{6E_{ab} I_{ab}} M_{ba}
\theta_b - \frac{\Delta}{L_{ab}}= - \frac{L_{ab}}{6E_{ab} I_{ab}} M_{ab} + \frac{L_{ab}}{3E_{ab} I_{ab}} M_{ba}

با مرتب کردن این دو معادله، معادلات شیب افت به دست می آیند.

شرایط تعادل[ویرایش]

تعادل در گره ها[ویرایش]

شرایط تعادل گره ها ایجاب می کند که لنگرهای وارد به هر گره با یک درجه آزادی باید در تعادل باشند. بنابراین:

\Sigma \left( M^{f} + M_{member} \right) = \Sigma M_{joint}

در معادله بالا M_{member} لنگرهای انتهای عضو، M^{f} لنگرهای گیرداری و M_{joint} لنگرهای خارجی وارد بر عضو هستند.

تعادل برش[ویرایش]

وقتی کل عضو به عنوان یک جسم صلب دوران دارد (تغییرمکان نسبی دو انتهای عضو مخالف صفر است)، علاوه بر معادلات تعادل لنگر، تعادل برش نیز باید نوشته شود تا تعداد معادلات و مجهولات با هم برابر گردد.

مراحل گام به گام[ویرایش]

تحلیل سازه ها به روش شیب افت شامل مراحل گام به گام زیر است:

۱- مجهول های مساله را تعیین کنید. دوران در تمام گره ها (به غیر از گره های گیردار) مجهول هستند. همچنین تغییر مکان نسبی دو سر اعضا نیز مجهول محسوب می شوند.

۲- نمودار آزاد تمام اعضا و گره ها را رسم کنید و لنگر، برش و نیروی محوری را در انتهای اعضا و روی گره ها نشان دهید. قرار داد علامت را فراموش نکنید. لنگر و دوران ساعتگرد در انتهای اعضا مثبت محسوب می شود.

۳- به ازای هر مجهول یک معادله تعادل بنویسید. برای مجهولات دوران باید تعادل لنگر در گره مربوطه را بنویسید. برای مجهولات تغییر مکان باید معادله تعادل برش را در همان جهت تغییرمکان برای نمودار آزاد عضو متناظر و گره های متصل به آن بنویسید و سپس با استفاده از نمودار آزاد عضو، برش ها را در معادله به صورت مجموع لنگر دو انتهای عضو تقسیم بر طول عضو بنویسید.

۴- معادلات شیب افت را برای لنگرهای انتهای اعضا بنویسید و آنها را در معادلات تعادل که در گام ۳ به دست آورده اید جایگزین نمایید.

۵- با حل سیستم معادلات به دست آمده، مقدار مجهولاتی را که در گام ۱ تعیین کرده اید به دست آورید. توجه کنید که جواب های مثبت نشان دهنده دوران ساعتگرد و جواب های منفی نشان دهنده دوران های پاد ساعتگرد هستند.

۶- مقادیر به دست آمده برای مجهولات را در معادلات شیب افت که در مرحلۀ ۴ نوشته اید جایگزین کنید تا مقادیر لنگرهای انتهای اعضا را به دست آورید.

۷- با استفاده از نمودارهای آزاد که در مرحله ۲ رسم کرده اید، مقادیر برش و نیروی محوری در انتهای اعضا و همچنین عکس العمل های سازه را تعیین کنید.

مثال[ویرایش]

مثال

می خواهیم تیر نشان داده شده در شکل را که دارای مشخصات زیر است تحلیل کنیم. اعضای CD، BC ،AB دارای طول یکسان برابر با  L = 10 \ m هستند. سختی خمشی اعضا به ترتیب برابر با EI و EI، 2EI است. بار متمرکز  P = 10 \ kN در فاصله  a = 3 \ m از تکیه گاه A وارد می شود. بار گسترده  q = 1 \ kN/m روی دهانه BC وارد می شود. بار متمرکز  P = 10 \ kN در وسط دهانه CD وارد می گردد. طبق قرارداد لنگرها و دوران های ساعتگرد را با علامت مثبت در نظر می گیریم.

درجات آزادی[ویرایش]

دوران های \theta_A, \theta_B, \theta_C در گره های C، B، A مجهول های مساله هستند. دوران گره D به دلیل گیرداری برابر با صفر است. تغییر مکان نسبی بین گره ها نیز در این مساله صفر است.

لنگرهای گیرداری[ویرایش]

لنگرهای گیرداری در این مساله در زیر محاسبه شده اند:

M _{AB} ^f = - \frac{P a b^2 }{L ^2} = - \frac{10 \times 3 \times 7^2}{10^2} = -14.7 \mathrm{\,kN \,m}
M _{BA} ^f = \frac{P a^2 b}{L^2} = \frac{10 \times 3^2 \times 7}{10^2} = 6.3 \mathrm{\,kN \,m}
M _{BC} ^f = - \frac{qL^2}{12} = - \frac{1 \times 10^2}{12} = - 8.333 \mathrm{\,kN \,m}
M _{CB} ^f = \frac{qL^2}{12} = \frac{1 \times 10^2}{12} = 8.333 \mathrm{\,kN \,m}
M _{CD} ^f = - \frac{PL}{8} = - \frac{10 \times 10}{8} = -12.5 \mathrm{\,kN \,m}
M _{DC} ^f = \frac{PL}{8} = \frac{10 \times 10}{8} = 12.5 \mathrm{\,kN \,m}

معادلات شیب افت[ویرایش]

معادلات شیب افت برای این مساله به صورت زیر نوشته می شوند:

M_{AB} = \frac{EI}{L} \left( 4 \theta_A + 2 \theta_B \right) = 0.4EI \theta_A + 0.2EI \theta_B
M_{BA} = \frac{EI}{L} \left( 2 \theta_A + 4 \theta_B \right) = 0.2EI \theta_A + 0.4EI \theta_B
M_{BC} = \frac{2EI}{L} \left( 4 \theta_B + 2 \theta_C \right) = 0.8EI \theta_B + 0.4EI \theta_C
M_{CB} = \frac{2EI}{L} \left( 2 \theta_B + 4 \theta_C \right) = 0.4EI \theta_B + 0.8EI \theta_C
M_{CD} = \frac{EI}{L} \left( 4 \theta_C \right) = 0.4EI \theta_C
M_{DC} = \frac{EI}{L} \left( 2 \theta_C \right) = 0.2EI \theta_C

تعادل در گره ها[ویرایش]

به دلیل اینکه سه مجهول مساله دوران در گره های C، B، A هستند کافی است تعادل لنگر در این گره ها را بنویسیم که سه معادله به ما می دهد:

\Sigma M_A = M_{AB} + M_{AB}^f = 0.4EI \theta_A + 0.2EI \theta_B  - 14.7 = 0
\Sigma M_B = M_{BA} + M_{BA}^f + M_{BC} + M_{BC}^f = 0.2EI \theta_A + 1.2EI \theta_B + 0.4EI \theta_C - 2.033 = 0
\Sigma M_C = M_{CB} + M_{CB}^f + M_{CD} + M_{CD}^f = 0.4EI \theta_B + 1.2EI \theta_C  - 4.167 = 0

مقدار دوران ها[ویرایش]

با حل دستگاه سه معادله و سه مجهول بالا مقادیر دوران ها به صورت زیر به دست می آید:

\theta_A = \frac{40.219}{EI}
\theta_B = \frac{-6.937}{EI}
\theta_C = \frac{5.785}{EI}

مقادیر لنگر در انتهای اعضا[ویرایش]

با جایگذاری مقادیر به دست آمده در معادلات شیب افت مقادیر لنگر در انتهای اعضا به دست می آید:

M_{AB} = 0.4 \times 40.219 + 0.2 \times \left( -6.937 \right) - 14.7 = 0
M_{BA} = 0.2 \times 40.219 + 0.4 \times \left( -6.937 \right) + 6.3 = 11.57
M_{BC} = 0.8 \times \left( -6.937 \right) + 0.4 \times 5.785 - 8.333 = -11.57
M_{CB} = 0.4 \times \left( -6.937 \right) + 0.8 \times 5.785 + 8.333 = 10.19
M_{CD} = 0.4 \times 5.785 - 12.5 = -10.19
M_{DC} = 0.2 \times 5.785 + 12.5 = 13.66

پانوشته ها[ویرایش]

  1. Maney, George A. (1915). Studies in Engineering. Minneapolis: University of Minnesota 

منابع[ویرایش]

  • Norris, Charles Head; John Benson Wilbur, Senol Utku (1976). Elementary Structural Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 313–326. ISBN 0-07-047256-4. 
  • McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach (2nd ed.). Addison-Wesley. pp. 430–451. ISBN 0-673-99753-7. 
  • Yang, Chang-hyeon (2001-01-10) (in Korean). Structural Analysis (4th ed.). Seoul: Cheong Moon Gak Publishers. pp. 357–389. ISBN 89-7088-709-1. 

جستارهای وابسته[ویرایش]

موضوع: تحلیل سازه ها