دستگاه معادلات خطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
فارسی العربية

مجموعه‌های مشتمل بر بیش از یک معادله خطّی را دستگاه معادلات خطّی می‌گویند. برای مثال:

\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&&             2y &&\; - \;&&  z &&\; = \;&&  1 & \\
2x &&\; - \;&&             2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&&  z &&\; = \;&&  0 &
\end{alignat}

دستگاهیست با ۳ معادله و ۳ مجهول (x و y و z).

سامانه‌های اینگونه را در شاخه‌ای وسیع و پرکاربرد از ریاضیّات موسوم به جبر خطّی مورد تحلیل و بررسی قرار می‌دهند.

دستگاه معادله های خطی شامل مجموعه ای از دو یا چند معادله خطی می باشد.

منظور از حل دستگاه, به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادله ها بر قرار باشند.

مشخصات:

  • نام:دستگاه معادله های خطی
  • این دستگاه شامل دو معادله ی خطی می باشد.
  • این دستگاه شامل دو مجهول x و y است.
  • به ازای x=-۶ و y=۳ هر دو معادله بر قرارند.
  • جواب دستگاه در واقع طول و عرض نقطه ی تقاطع این دو خط می باشد.

دستگاه دو معادله ی دو مجهولی:

یک دستگاه دو مجهولی درجه اول به شکل زیر است:

          ax+by=c
        ax2+by2=c2 

این دستگاه شامل دو معادله و دو مجهول می باشد. مجهول های دستگاه در مورد هر موضوعی می توانند باشند . برای حل دستگاه روشهایی وجود دارد که دو روش حذفی و قیاسی را توضیح می دهیم.

روش حذفی:

در این روش هر یک از دو معادله مفروض را در عددی ضرب می کنیم که ضریب های یکی از مجهول ها در دو معادله قرینه شود, آنگاه طرفین دو معادله را نظیر به نظیر جمع می کنیم و ساده می کنیم, پس از پیدا شدن یکی از مجهول ها آن را در یکی از دو معادله قرار می دهیم و مجهول دیگر را بدست می آوریم.

روش قیاسی:

در این روش از هر دو معادله x یا y را پیدا نموده و مساوی هم قرار می دهیم.

منابع[ویرایش]

  • Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع بیشتر[ویرایش]

  • ویدیوهای آموزشی دستگاه معادلات خطی (جبر خطی پیش دانشگاهی) به زبان فارسی: [۱]
نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنكليزية: System of linear equations) هي مجموعة من المعادلات الخطية, تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:

\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y             &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

\begin{alignat}{2}
x & = & 1 \\
y & = & -2 \\
z & = & -2
\end{alignat}

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هاته القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

%40+8700=%100

الشكل العام

\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:


 x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
 x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}

2. معادلات مصفوفة:

A\bold{x}=\bold{b}

A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\bold{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad
\bold{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

[1]

مجموعة الحلول

مجموعة حلول المعادلتين xy = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

قراءة هندسية

الشكل العام

مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائص

الاستقلالية

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

التناسق

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

3x+2y=6 و \;\;\;\;3x+2y=12 غير متناسقتين.

التكافؤ

حلحلة النظام الخطي

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيرات

\begin{alignat}{7}
 x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}
\begin{alignat}{5}
-4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\
-2y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& -2 &
\end{alignat}
\begin{alignat}{7}
 x &&\; = \;&& 5 &&\; + \;&& 2z &&\; - \;&& 3y & \\
 y &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 3z && && & \\
 z &&\; = \;&& 2 && && && && &
\end{alignat}

تبسيط الصفوف

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8 
\end{alignat}

تعطى بما يلي:


x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.

طرق أخرى

الأنظمة المتجانسة

انظر أيضا إلى معادلة تفاضلية متجانسة.

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \,\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0. \\
\end{alignat}

مجموعة الحلول

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية