حدس گلدباخ

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
عددهای صحیح زوج از ۴ تا ۲۸ به صورت مجموع دو عدد اول

حدس گلدباخ یکی از قدیمی‌ترین مسئله‌های حل نشده در نظریه اعداد و تمام ریاضیات است که بیان می‌کند: «هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت.» به عنوان نمونه ۴ = ۲ + ۲ و ۶ = ۳ + ۳ و ۸ = ۵ + ۳ و ۱۰ را می‌توان به دو حالت به صورت جمع دو عدد اول نوشت (۱۰ = ۷ + ۳ و ۱۰ = ۵ + ۵).‏[۱][۲]

حدس گلدباخ در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط کریستین گلدباخ در نامه‌ای به لئونارد اویلر مطرح شد. در واقع صورت اولیهٔ این مسئله بیان می‌داشت که «هر عدد بزرگ‌تر از ۲، مجموع سه عدد اول است.» که با توجه به اینکه عدد ۱ در آن زمان (بصورت قراردادی) جزو اعداد اول دانسته می‌شد، توجیه‌پذیر بود.[۲]

نتایج یک پژوهش در سال ۲۰۱۴ نشان داد که حدس گلدباخ برای همهٔ اعداد زوج کوچکتر از ۴ × ۱۰۱۸ درست است.[۳]

تاریخچه[ویرایش]

بعضی از مسائل و قضایای مطرح در دنیای ریاضیات به رغم صورت بسیار ساده، از مسائل حل نشدنی ریاضیات محسوب می‌شوند. یکی از این مسائل حدس اثبات نشده‌ای است که در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط کریستیان گلدباخ، ریاضیدان و تاریخ شناس اهل پروس مطرح شد. لئونارد اولر، ریاضیدان برجسته آلمانی با برسی حدس گلدباخ دریافت که این حدس را می‌توان به صورت دیگری نیز مطرح کرد؛ صورتی ظاهراً متفاوت که در واقع به لحاظ ریاضی با بیان گلدباخ هم ارز است و اصطلاحاً به آن حدس قوی گولدباخ گویند. بر اساس بیان حدس قوی گلدباخ هر عدد زوج بزرگتر از دو را همواره می‌توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت. اکنون که بیش از ۲۷۰ سال از مطرح شدن این حدس می‌گذرد حتی با قوی ترین ابر رایانه‌ها هم هیچ مورد نقضی که صحت این حدس را زیر سوال ببرد پیدا نشده است اما با این حال هنوز هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات این حدس نشده است. بدین ترتیب اثبات درستی حدس گلدباخ به یکی از چالش‌های مهم پیش روی ریاضیدانان بدل شده است. بیست سال پیش یعنی ۱۹۹۲ موسسه انتشاراتی مشهور Faber & Faber کتاب داستانی پر فروشی را با عنوان عموپتروس و حدس گلدباخ منتشر کرد که در آن تاریخ ریاضیات در قالب جذاب و داستانی شرح داده است. چند سال بعد از انتشارات مزبور به منظور تبلیغ برای فروش بیشتر کتاب جایزه‌ای یک میلیون دلاری را برای کسی که از تاریخ ۲۰ مارس ۲۰۰۰ حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود تعین کرد اما تا اتمام تاریخ مقرر و پس از آن تا زمان کنونی هم هنوز هیچ ریاضیدانی از اثبات این حدس به ظاهر آسان بر نیامده است. در سال ۲۰۰۸ توماس اولیوریااسیلوا، پژوهشگر دانشگاه اویرو در پرتغال با کمک یک سیستم ابر رایانه توزیع یافته توانست صحت حدس گولدباخ را تا ۱۰۱۷ *۱۸ نشان دهد. به تازگی ابر رایانه‌های آزمایشگاه عظیم فیزیک ذرات بنیادی اروپا (سرن) هم وارد این میدان شدند تا صحت حدس گولدباخ را برای اعداد بزرگتر باز هم محک بزنند. البته هر چقدر هم که ابر رایانه قوی تر را در اختیار داشته باشیم باز هم قادر نخواهیم بود درستی خدس گلدباخ را برای تمامی اعداد بررسی کنیم و درنهایت چاره‌ای جز تلاش برای اثبات درستی این حدس نداریم.

تلاش‌های اثبات حدس گولدباخ[ویرایش]

نمودار تعداد حالت‌هایی که می‌توان یک عدد زوج بین ۴ و ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ را به صورت مجموع دو عدد اول نوشت

در سال ۱۹۶۶ یک ریاضیدان چینی به نام چن جینگ ران توانست ثابت کند که هر عدد زوج به اندازه کافی بزرگ را می‌توان به صورت مجموع یک عدد اول و عدد دیگری که برابر حاصل ضرب دو عدد اول است نوشت. بدین ترتیب بشر یک گام به اثبات درستی حدس گولدباخ نزدیکتر شد. در سال ۱۹۹۵ هم یک ریاضیدان فرانسوی به نام اولیور رامار ثابت کرد که هر عدد زوج بزرگتر یا مساوی ۴ را می‌توان به صورت مجموع شش عدد اول نوشت. در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگارهٔ گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند. بعداً وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به چهار کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح به اندازه کافی بزرگ ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر چهار عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم. در ۱۹۱۹ ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل ضرب حداکثر ۹ عدد اول هستند. در ۱۹۳۷ ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل ضرب حداکثر ۳۶۶ عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است. در ۱۹۴۸ آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c که عددی ثابت و مجهول است، عدد اول است. در ۱۹۵۷، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ، مجموع یک عدد اول و حاصل ضرب حداکثر سه عدد اول است. در ۱۹۶۱ باربن نشان داد که c=۹ برای این منظور کفایت می‌کند. در ۱۹۶۲، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=۵ کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان، مستقل از هم، آن را به c=۴ کاهش دادند. در ۱۹۶۵ بوخشتاب این قضیه را به ازای c=۳ کاهش داد. در ۱۹۶۶، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=۲ ثابت کرد.

منابع[ویرایش]

[۴][۵]

پانویس[ویرایش]

  1. Skurnick, Ronald. “A Classroom Note on a Sufficient, but Unsatisfied, Condition for Goldbach's Conjecture to Be True”. Mathematics and Computer Education, 1 January 2011. Retrieved 12 November 2014. 
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ “Goldbach conjecture”. Encyclopædia Britannica. Retrieved 13 November 2014. 
  3. “Recent Findings in Computational Mathematics Described by Researchers from Ist Nazl Fis Nuclear [Empirical Verification of the Even Goldbach Conjecture and Computation of Prime Gaps Up to 4 . 10(18)”]. Journal of Mathematics, 15 July 2014. Retrieved 12 November 2014. 
  4. سایت ریاضی دبیرستان
  5. مجله دانستنیها شماره 69 قسمت مسائل و معماهای بزرگ تاریخ و ریاضیات جهان