حدس گلدباخ

بعضی از مسائل و قضایای مطرح در دنیای ریاضیات به رغم صورت بسیار ساده,اثباتی فوق العاده پیچیده و دشواری دارند.یکی از این مسائل,حدس اثبات نشده ای است که در سال 1742 میلادی توسط کریستسان گولدباخ,ریاضیدان و تاریخ شناس اهل پروس مطرح شد.بر اساس حدس گولدباخ,هر عدد بزرگتر از 5 را می توان همواره به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.به عنوان مثال داریم:3+7+11=21 و یا 2+7+31=40 (همانطور که احتمالا میدانید اعداد اول به اعدادی گفته میشود که فقط بر خودشان و عدد 1 بخشپذیر هستند) لئونارد اولیر,ریاضیدان برجسته سوئیسی با برسی حدس گولدباخ دریافتکه این حدس را می توان به صورت دیگری مطرح کرد;صورتی ظاهرا متفاوت که در واقع به لحاظ ریاضی با بیان گولدباخ هم ارز است و اصطلاحا ((حدس قوی گولدباخ))نامیده می شود.بر اساس بیان حدس قوی گولدباخ هر عدد زوج بزرگتر از 2 را همواره میتوان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.اکنون که دقیقا 270 سال از مطرح شدن حدس گولدباخ می گذرد حتی با قویترین ابر رایانه ها هم هیچ مورد نقضی که صحت این حدس را زیر سوال ببرد پیدا نشده;اما با این حال هنوز هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات این حدس نشده است.بدین ترتیب اثبات درستی حدس گولدباخ به یکی از چالش های مهم پیش روی ریاضیدانان بدل شده است. 20 سال پیش یعنی 1992 موسسه انتشاراتی مشهور((فابر اند فابر))کتاب داستانی پر فروشی را با عنوان((عمو پتروس و حدس گولدباخ))منتشر کرد که در آن,تاریخ ریاضیات و من جمله ((حدس گولدباخ))در قالب جذاب و داستانی شرح داده است.چند سال بعد از انتشارات مزبوربه منظور تبلیغ برای فروش بیشتر کتاب,جایزه ای یک میلیون دلاری را برای کسی که از تاریخ 20 مارس 2000حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گولدباخ شود تعین کرد;اما تا اتمام تاریخ مقرر و پس از آن تا زمان کنونی هم هنوز هیچ ریاضیدانی از اثبات این حدس به ظاهر آسان بر نیامده است. در سال 2008,توماس اولیوریااسیلوا,پژوهشگر دانشگاه اویرو در پرتغال با کمک یک سیستم ابر رایانش توزیع یافته توانست صحت حدس گولدباخ را تا 10¹⁸ *1.8 نشان دهد.به تازگی ابر رایانه های آزمایشگاه عظیم فیزیک ذرات بنیادی اروپا(سرن)هم وارد این میدان شدند تا صحت حدس گولدباخ را برای اعداد بزرگتر باز هم محک بزنند. البته هر چقدر هم که توان ابر رایانش را در اختیار داشته باشیم باز هم قادر نخواهیم بود درستی خدس گولدباخ را برای تمامی اعداد بررسی کنیم و درنهایت چاره ای جز تلاش برای درستی این حدس نداریم.در سال 1966 یک ریاضیدان چینی به نام چن جینگ ران توانست ثابت کند که هر عدد زوج به اندازه کافی بزرگ را می توان به صورت مجموع یک عدد اول و عدد دیگری ک برابر حاصل ضرب دو عدد اول است نوشت.به عنوان مثال داریم:(5*3)+3=18. بدین ترتیب بشر یک گام به اثبات درستی حدس گولدباخ نزدیکتر شد.در سال 1995 هم یک ریاضیدان فرانسوی به نام اولیور رامار ثابت کرد که هر عدد زوج بزرگتر یا مساوی 4 را می توان به صورت مجموع شش عدد اول نوشت. اما آیا این گام ها,آخرین قدم برای اثبات درستی حدس 270 ساله گولد باخ هستند؟هنوز هیچکس نمی داند.

تلاش های اثبات حدس گولدباخ

تلاش‌ها برای اثبات

در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند. بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم. در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد. در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند. در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است. در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است. در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است). در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند. در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند. در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد. در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی