حالت تبهگن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، به ویژه جبر خطی شکل دوسویه تبهگن (f(x,y روی بردار فضای V آن است که تبدیل V به *V که به صورت v \mapsto (x \mapsto f(x,v)) است هم شکل نباشد. تعریف معادل هنگامی که V بعدی غیر بینهایت دارد این است که هسته غیر بدیهی داشته باشد: x غیر صفری در V وجود داشته باشد به شکلی که:

برای هر : y \in V :  f(x,y)=0\,

حالت غیر تبهگن حالتی است که v \mapsto (x \mapsto f(x,v)) هم ریخت است یا به طور معادل بعد آن محدود است اگر و فقط اگر

برای هر : y \in V :  f(x,y)=0\, نتیجه بدهد: x=0

اگر بعد V محدود باشد آنگاه شکل دوسویه تبهگن است اگر و فقط اگر دترمینان ماتریس متناظر صفر باشد (اگر و فقط اگر ماتریس تکین باشد)، و نتیجتا حالت تبهگن، حالت تکین نیز نامیده می شود. به همین شکل حالت غیر تبهگن متناظر با ماتریس غیر تکین است و به حالت غیر تکین نیز نامیده می شود. این عبارت از پایه های انتخاب شده مستقل است. مهمترین مثال حالت غیر تبهگن ضرب داخلی است.

بعد نا متناهی[ویرایش]

توجه کنید که در یک فضا با بعد نا متناهی می توان حالت دوسویه ای برای f داشت به طوری که v \mapsto (x \mapsto f(x,v)) یک به یک باشد و نه پوشا. برای مثال در قضای توابع پیوسته روی یک بازه بسته حالت زیر پوشا نیست.

 f(\phi,\psi) = \int\psi(x)\phi(x) dx

به طور مثال تابع دلتا دیراک در فضای دوگانه است ولی فرم لازم را ندارد. از طرف دیگر این حالت دوسویه در عبارت زیر صدق می کند.

f(\phi,\psi)=0\, برای هر \,\phi نتیجه بدهد : \psi=0.\,

منابع[ویرایش]