فهرست‌های انتگرال‌ها

انتگرال‌گیری یکی از دو عمل اصلی در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. برخلاف دیفرانسیل که قواعد ساده‌ای دارد که با استفاده از دیفرانسیل تابع‌های سادهٔ مشابه یک تابع پیچیده، می‌توان دیفرانسیل آن را یافت، انتگرال‌ها این‌گونه نیستند. پس جدول‌های انتگرال بسیار کاربردی هستند. این صفحه فهرست برخی از پرکاربردترین انتگرال‌ها را دربردارد.

لیست‌های انتگرال‌ها

برای جزئیات بیشتر صفحات زیر را ببینید:

• فهرست انتگرال‌ توابع گویا
• فهرست انتگرال‌ توابع گنگ
• فهرست انتگرال‌ توابع مثلثاتی
• فهرست انتگرال‌ توابع وارون مثلثانی
• فهرست انتگرال‌ تابع‌های هیپربولیک
• فهرست انتگرال‌ تابع‌های وارون هیپربولیک
• فهرست انتگرال‌ تابع‌های نمایی(توانی)
• فهرست انتگرال توابع لگاریتمی

Integrals with a singularity

$\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C$

$\int {1 \over x}\,dx = \ln|x| + \begin{cases} A & \text{if }x>0; \\ B & \text{if }x < 0. \end{cases}$

تابع‌های گویا

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ توابع گویا

این تابع‌ها در نقطهٰ صفر برای a < -۱ یک تکینگی دارند.

$\int k\,dx = kx + C$

$\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ (Cavalieri's quadrature formula)

$\int (ax + b)^n dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!$

$\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C$

$\int\frac{c}{ax + b} dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C$

تابع‌های نمایی (توانی)

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ تابع‌های نمایی(توانی)

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

تابع‌های لگاریتمی

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال توابع لگاریتمی

$\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C$

$\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$

تابع‌های مثلثاتی

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ توابع مثلثاتی

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

(see integral of secant cubed)

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

تابع‌های مثلثاتی معکوس

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ توابع وارون مثلثانی

$\int \arcsin{x} \, dx = x \, \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C$

$\int \arccos{x} \, dx = x \, \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

$\int \arccot{x} \, dx = x \, \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

$\int \arcsec{x} \, dx = x \, \arcsec{x} - \operatorname{artanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + C$

$\int \arccsc{x} \, dx = x \, \arccsc{x} + \operatorname{artanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + C$

تابع‌های هذلولوی

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ تابع‌های هیپربولیک

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arcsin\,(\tanh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

تابع‌های هذلولوی معکوس

انتگرال‌های بیش‌تر : فهرست انتگرال‌ تابع‌های وارون هیپربولیک

$\int \operatorname{arsinh} \, x \, dx= x \, \operatorname{arsinh} \, x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int \operatorname{arcosh} \, x \, dx= x \, \operatorname{arcosh} \, x-\sqrt{x+1} \, \sqrt{x-1}+C$

$\int \operatorname{artanh} \, x \, dx= x \, \operatorname{artanh} \, x+\frac{\ln\left(1-x^2\right)}{2}+C$

$\int \operatorname{arcoth} \, x \, dx= x \, \operatorname{arcoth} \, x+\frac{\ln\left(1-x^2\right)}{2}+C$

$\int \operatorname{arsech} \, x \, dx= x \, \operatorname{arsech} \, x-2 \, \arctan\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+C$

$\int \operatorname{arcsch} \, x \, dx= x \, \operatorname{arcsch} \, x+\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+C$

حاصل توابع نسبت به مشتق دومشان

$\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C$

$\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C$

$\int \cos ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \cosh bx+ b\cos ax\, \sinh bx \right) + C$

$\int \sin ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \sinh bx- a\cos ax\, \cosh bx \right) + C$

تابع‌های قدر مطلق

$\int \left| (ax + b)^n \right|\,dx = {(ax + b)^{n+2} \over a(n+1) \left| ax + b \right|} + C \,\, [\,n\text{ is odd, and } n \neq -1\,]$

$\int \left| \sin{ax} \right|\,dx = {-1 \over a} \left| \sin{ax} \right| \cot{ax} + C$

$\int \left| \cos{ax} \right|\,dx = {1 \over a} \left| \cos{ax} \right| \tan{ax} + C$

$\int \left| \tan{ax} \right|\,dx = {\tan(ax)[-\ln\left|\cos{ax}\right|] \over a \left| \tan{ax} \right|} + C$

$\int \left| \csc{ax} \right|\,dx = {-\ln \left| \csc{ax} + \cot{ax} \right|\sin{ax} \over a \left| \sin{ax} \right|} + C$

$\int \left| \sec{ax} \right|\,dx = {\ln \left| \sec{ax} + \tan{ax} \right| \cos{ax} \over a \left| \cos{ax} \right|} + C$

$\int \left| \cot{ax} \right|\,dx = {\tan(ax)[\ln\left|\sin{ax}\right|] \over a \left| \tan{ax} \right|} + C$

تابع‌های مخصوص

Ci, Si: Trigonometric integrals, Ei: Exponential integral, li: Logarithmic integral function, erf: Error function

$\int \operatorname{Ci}(x) dx = x\,\operatorname{Ci}(x) - \sin x$

$\int \operatorname{Si}(x) dx = x\,\operatorname{Si}(x) + \cos x$

$\int \operatorname{Ei}(x) dx = x\,\operatorname{Ei}(x) - e^x$

$\int \operatorname{li}(x)dx = x\, \operatorname{li}(x)-\operatorname{Ei}(2 \ln x)$

$\int \frac{\operatorname{li}(x)}{x}\,dx = \ln x\, \operatorname{li}(x) -x$

$\int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x\, \text{erf}(x)$

انتگرال‌های معین

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (see also Gamma function)

$\int_0^\infty{e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2} \sqrt \frac {\pi} {a}$ (the Gaussian integral)

$\int_0^\infty{x^2 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{4} \sqrt \frac {\pi} {a^3}$ when a > 0

$\int_0^\infty{x^{2n} e^{-a x^2}\,dx} = \frac{2n-1}{2a} \int_0^\infty{x^{2(n-1)} e^{-a x^2}\,dx} = \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} = \frac{(2n)!}{n! 2^{2n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}$ when a > 0, n is 1,2,3,... and !! is the double factorial.

$\int_0^\infty{x^3 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2 a^2}$ when a > 0

$\int_0^\infty{x^{2n+1} e^{-a x^2}\,dx} = \frac {n} {a} \int_0^\infty{x^{2n-1} e^{-a x^2}\,dx} = \frac{n!}{2 a^{n+1}}$ when a > 0, n is 0, 1, 2, ....

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$ (see also Bernoulli number)

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin{x}}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$ (see sinc function and Sine integral)

$\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2}$ (if n is an even integer and $\scriptstyle{n \ge 2}$)

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n}$ (if $\scriptstyle{n}$ is an odd integer and $\scriptstyle{n \ge 3}$)

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x)\cos^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc} \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & |\alpha|= |\beta (2m-n)| \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{array} \right .$ (for $\scriptstyle \alpha, \beta, m, n$ integers with $\scriptstyle \beta \neq 0$ and $\scriptstyle m, n \geq 0$, see also Binomial coefficient)

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \cos^n(\beta x) dx = 0$ (for $\scriptstyle \alpha,\beta$ real and $\scriptstyle n$ non-negative integer, see also Symmetry)

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc} (-1)^{(n+1)/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ odd},\ \alpha = \beta (2m-n) \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{array} \right .$ (for $\scriptstyle \alpha, \beta, m, n$ integers with $\scriptstyle \beta \neq 0$ and $\scriptstyle m, n \geq 0$, see also Binomial coefficient)

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(\alpha x) \sin^n(\beta x) dx = \left \{ \begin{array}{cc} (-1)^{n/2} (-1)^m \frac{2 \pi}{2^n} \binom{n}{m} & n \mbox{ even},\ |\alpha| = |\beta (2m-n)| \\ 0 & \mbox{otherwise} \\ \end{array} \right .$ (for $\scriptstyle \alpha, \beta, m, n$ integers with $\scriptstyle \beta \neq 0$ and $\scriptstyle m,n \geq 0$, see also Binomial coefficient)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (where $\exp[u]$ is the exponential function $e^u$, and $a>0$)

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ (where $\Gamma(z)$ is the Gamma function)

$\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ (the Beta Function)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ (where $I_{0}(x)$ is the modified Bessel function of the first kind)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2)}\,$, $\nu > 0\,$, this is related to the probability density function of the Student's t-distribution)

The method of exhaustion provides a formula for the general case when no antiderivative exists:

$\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} ).$

$\int_0^1 [\ln(1/x)]^p\,dx = p!$

Start by using the substitution $x = \operatorname{artanh}\,t$

$I_p = \int_0^1 [\ln(1/x)]^p\;\mathrm{d}x = \int^{\infty}_0 \left[\ln(1/\operatorname{artanh}\,t) \right]^p \;\frac{\mathrm{d}t}{1 - t^2}$

This brings the integral to the general form

$I_n = \int^b_a (\ln f)^n f^'\;\mathrm{d}t$

which after integration by parts yields

$\left[f (\ln f)^n \right]^b_a - n \int^b_a (\ln f)^{n-1} f^'\;\mathrm{d}t$

and provided the first term vanishes at the end points, we get the recurrence relation

$I_n = -n\,I_{n-1}$

which upon computation gives

$I_n = (-1)^n\, n!$

Applying to our integral, we notice that

$[\ln(1/x)]^p = (-1)^p\;[\ln(x)]^p$

Hence the final answer is:

$I_p = (-1)^p\, (-1)^p\, p! = p!$

جستارهای وابسته

• تابع گامای ناکامل
• فهرست سری‌های ریاضی
• فهرست حدها

منبع‌ها

• M. Abramowitz and I.A. Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.

• I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)

• A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.

• Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.

• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)

تاریخچه

• Meyer Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)

پیوند به بیرون

جدول‌های انتگرال‌ها

• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
• Paul's Online Math Notes
• A. Dieckmann, Table of Integrals (Elliptic Functions, Square Roots, Inverse Tangents and More Exotic Functions): انتگرال‌های نامعین انتگرال‌های معین
• O'Brien, Francis J. Jr. ۵۰۰ انتگرال Derived integrals of exponential and logarithmic functions
• Rule-based Mathematics Precisely defined indefinite integration rules covering a wide class of integrands

مشتق‌ها

• V. H. Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik

خدمات برخط

• Integration examples for Wolfram Alpha
• mathquick Calculator

برنامه‌های متن‌باز

• wxmaxima gui for Symbolic and numeric resolution of many mathematical problems