نقطه تکین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از تکینگی (ریاضیات))
پرش به: ناوبری، جستجو

یک نقطه تکین در ریاضیات نقطه‌ای‌ست که یک عنصر ریاضی در آن تعریف نشده باشد، یا تابع به نوعی در آن خوشرفتار نباشد، مثلاً مشتق‌پذیری یا تحلیلی نباشد.

برای مثال تابع

 f(x)=\frac{1}{x}

روی محور حقیقی یک نقطهٔ تکین در x = 0 دارد، جایی که تابع به ±∞ «منفجر می‌شود» و تعریف نشده است. تابع g(x) = |x| نیز یک تکین در x = 0 دارد، زیرا آنجا مشتق پذیر نیست. به طور مشابه نمودار تعریف شده با y2 = x نیز یک تکین در x = 0 دارد، این دفعه به خاطر اینکه یک نقطه انشعاب در این نقطه دارد. مجموعه جبری تعریف شده با y2 = x2 در سیستم مختصات (x, y) یک نقطه تکین در (0,0) دارد زیرا در این نقطه هیچ مماسی ندارد.

آنالیز مختلط[ویرایش]

در آنالیز مختلط، جهار نوع نقطهٔ تکین وجود دارد که در زیر تشریح شده است. فرض کنید U یک زیر مجموعه باز از اعداد مختلط C، a یک عضو از U، و f یک تابع هولومورفیک تعریف شده بر U \ {a}.

  • نقطه a یک نقطه تکین برداشتنی از f‌ است اگر تابع هولومورفیک g تعریف شده بر تمام U وجود داشته باشد که f(z) = g(z) برای هر z در U \ {a}.
  • نقطه a یک قطب از f است اگر تابع هولومورفیک g تعریف شده بر U و عدد طبیعی n وجود داشته باشد که f(z) = g(z) / (za)n برای هر z در U \ {a}.
  • نقطه a یک نقطه تکین اساسی از f است اگر نه تکین برداشتنی باشد و نه قطب. نقطه a یک نقطه تکین اساسی است اگر و تنها اگر سری لوران f در نقطهٔ a تعداد بینهایت جملهٔ با درجهٔ منفی داشته باشد.
  • یک نقطه انشعاب عموماً در نتیجهٔ تعریف یک تابع چند مقداره (مانند \sqrt{z} یا \log(z)) در یک دامنهٔ محدود بوجود می‌آید که در نتیجه تابع در این دامنه تک مقداره می‌شود.

همچنین نگاه کنید به[ویرایش]

منابع[ویرایش]

حساب دیفرانسیل و انتگرال سیاوش شهشانی جلد دوم