قضیه نقطه ثابت

در ریاضیات، قضیه نقطه ثابت یا تکرار ساده (به انگلیسی: Fixed-point theorem) قضیه‌ای است که می‌گوید در صورت برآورده‌شدن پاره‌ای از شرایط می‌توان اطمینان حاصل کرد که تابع F حداقل یک نقطهٔ ثابت مانند x دارد. منظور از نقطهٔ ثابت نقطه‌ای است که در آن $F(x)=x$ است.

روش حل معادلات

طریقه استفاده از روش برای حل معالات:

۱- شکل معادله را به صورت$f(x)=x$ در بیاوریم.

۲- عددی دلخواه را به جای $x$ در $f(x)$ قرار می‌دهیم. مثلاً k

۳- مقدار $f(k)$ بدست آمده را دوباره به جای $x$ در $f(x)$ قرار می‌دهیم.

۴- عمل فوق را به‌طور نامتناهی انجام می‌دهیم و به جواب نزدیک تر خواهیم شد.

مثال

حل معادله $x^{x}=2$

مرحله اول:

$x^{x}=2$

در نتیجه

$x={\sqrt[{x}]{2}}$

مرحله دوم: مقدار اولیه k=۴

$x={\sqrt[{4}]{2}}=1.1892071500....$

مرحله سوم: k=۱٫۸۹۲۰۷۱۵۰

$x={\sqrt[{1.89207150}]{2}}=1.44244994$

مرحله چهارم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴

$x={\sqrt[{1.44244994}]{2}}=1.616938$

مرحله پنجم: k=۱٫۶۱۶۹۳۸

$x={\sqrt[{1.616938}]{2}}=1.53522$

مرحله ششم: k=۱٫۵۳۵۲۲

$x={\sqrt[{1.53522}]{2}}=1.57006$

پس جواب معاله تا یک رقم اعشار:

$x=1.5...$

با انجام عمل متوالی بالا به تقریب‌های دقیق تری از جواب خواهید رسید.

اثبات روش

به مراحل حل معادله توجه کنید $x=f(x)$

$x=f(f(x))$

$x=f(f(f(x)))$

که دنباله زیر را تشکیل می‌دهند.

$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\dots$

در صورتی که این دنباله واگرا نباشد و همگرا باشد به جواب می‌رسیم.

جستارهای وابسته

• نقطه ثابت

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fixed-point_theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.
• «حل معادلات با تقریب دلخواه»جشنواره جوان خوارزمی، شهریور ۱۳۹۱

پیوند به بیرون

• توضیحی برای روش نقطه ثابت