توزیع پیشین جفری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در احتمالات بیزی توزیع پیشین جفری (به انگلیسی: Jeffrey's prior) یک احتمال پیشین است که متناسب با ریشه دوم دترمینان اطلاع فیشر است:

p\left(\vec\theta\right) \propto \sqrt{\det \mathcal{I}\left(\vec\theta\right)}.\,

تغییر پارامتر[ویرایش]

تک متغیره[ویرایش]

برای تغییر یک پارامتر اگر بخواهیم

p(\varphi) \propto \sqrt{I(\varphi)}\,

را از

p(\theta) \propto \sqrt{I(\theta)}\,

بدست آوریم، با استفاده از قانون تغییر متغیرها داریم:


\begin{align}
p(\varphi) & = p(\theta) \left|\frac{d\theta}{d\varphi}\right|
\propto \sqrt{I(\theta) \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2}
= \sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left(\frac{d \ln L}{d\theta}\right)^2\right] \left(\frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2} \\
& = \sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left(\frac{d \ln L}{d\theta} \frac{d\theta}{d\varphi}\right)^2\right]}
= \sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left(\frac{d \ln L}{d\varphi}\right)^2\right]}
= \sqrt{I(\varphi)}.
\end{align}

چند متغیره[ویرایش]

برای تغییر متغیر چندین متغیر نیز مشابه همین عمل می کنیم:


\begin{align}
p(\vec\varphi) & = p(\vec\theta) \left|\det\frac{\partial\theta_i}{\partial\varphi_j}\right| \\
& \propto \sqrt{\det I(\vec\theta)\, {\det}^2\frac{\partial\theta_i}{\partial\varphi_j}} \\
& = \sqrt{\det \frac{\partial\theta_k}{\partial\varphi_i}\, \det \operatorname{E}\!\left[\frac{\partial \ln L}{\partial\theta_k} \frac{\partial \ln L}{\partial\theta_l} \right]\, \det \frac{\partial\theta_l}{\partial\varphi_j}} \\
& = \sqrt{\det \operatorname{E}\!\left[\sum_{k,l} \frac{\partial\theta_k}{\partial\varphi_i} \frac{\partial \ln L}{\partial\theta_k} \frac{\partial \ln L}{\partial\theta_l} \frac{\partial\theta_l}{\partial\varphi_j} \right]} \\
& = \sqrt{\det \operatorname{E}\!\left[\frac{\partial \ln L}{\partial\varphi_i} \frac{\partial \ln L}{\partial\varphi_j}\right]}
= \sqrt{\det I(\vec\varphi)}.
\end{align}

منابع[ویرایش]