توزیع وارن نرمال-ویشارت

normal-inverse-Wishart

نماد	$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )$
پارامترها	${\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,$ پارامتر مکان (vector of عدد حقیقی) $\lambda >0\,$ (real) ${\boldsymbol {\Psi }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}$ inverse scale matrix (pos. def.) $\nu >D-1\,$ (real)
تکیه‌گاه	${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}$ ماتریس کوواریانس (pos. def.)
تابع چگالی احتمال	$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\tfrac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }})\ {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )$

در نظریه احتمالات و آمار توزیع وارون نرمال-ویشارت خانواده ای پیوسته از توزیع‌ها با 4 پارامتر است. این توزیع معمولاً در آمار بیزی زمانی که بردار میانگین و ماتریس کواریانس (عکس ماتریس دقت) نامعلوم باشند، کاربرد دارد.

تعریف

اگر متغیر میانگین را با توزیعی نرمال تعریف کنیم

${\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Sigma }}\sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right)$

و همچنین متغیر ماتریس کواریانس را با توزیع ویشارت

${\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )$

توزیع مشترک آن‌ها را به صورت زیر نمایش می‌دهیم

$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu ).$

که عبارت است از:

$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right){\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )$

توزیع های مربوطه

• توزیع نرمال-ویشارت
• توزیع وارون نرمال-گاما
• توزیع ویشارت وارونه

منابع

• Bishop, Christopher M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer Science+Business Media.
• Murphy, Kevin P. (2007). "Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution." [۲]