توزیع احتمال توام

توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک (به انگلیسی: Joint probability distribution)‏ در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی $\ x$ و $\ y$ تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف میکنیم

$\ F_{X,Y}(a,b)=p\{X<=a , y<=b\} ,, -\infty<a,b<\infty$

تابع توزیع تجمعی $\ x$ را می‌توان از تابع توزیع تجمعی مشترک به صورت زیر بدست اورد

$\ F_x(a)=p\{X<=a , y<=\infty\}=F(a,\infty) ,, -\infty<a,b<\infty$

به این ترتیب می‌توان بدست اورد

$\ p\{X>a,Y>b\}=1-F_{X}(a)-F_{Y}(b)+F(a,b)$

خواص مربوط به توزیع مشترک

۱.در حالت توزیع پیوسته داریم

$\ p\{X<=a , y<=b\}=\int_{-\infty}^{a} \int_{-\infty}^{b} f(x,y)dx dy$

۲.با مشتقگیری جزئی درمیابیم

$\ f(a,b)=\tfrac{d^2}{da db}F(a,b)$

۳.$\ f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}$

۴. $\ p\{a<X<a+da , b<y<=b+db\}= \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x,y)dxdy ~f(a,b)dadb$

استقلال متغیرهای تصادفی

متغیرهای تصادفی $\ X$و$\ Y$ را مستقل می گویند اگر برای هر دو مجموعه از اعداد حقیقی $\ A$و$\ B$ داشته باشیم

$\ p\{X \in A , y \in B \}=p\{X \in A \} p\{y \in B\}$

این تعریف را می‌توان بر اساس تابع توزیع تجمعی مشترک هم بیان کرد

$\ F(a,b)=F_{X}(a)F_{Y}(b)$

تعمیم این رابطه به حالت پیوسته به شکل زیر است

$\ f(y,x)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$

به عبارت دیگر $\ X$، $\ Y$ مستقل خواهند بود اگر با دانستن یکی از انها تغییری در توزیع دیگری حاصل نشود.

مجموع متغیرهای تصادفی

معمولا محاسبه ی توزیع $\ X+Y$ دارای اهمیت خاصی است.رابطه تابع تجمعی به شکل زیر است

$\ F_{X+Y}(a)=p\{X+Y<=a\}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{a-Y} f_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy$

یعنی تابع توزیع تجمعی از پیچش توزیعهای $\ Y$و$\ X$ به دست می اید.

اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم تابع چگالی بدست می اید

$\ f_{X+Y}(a)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(a-Y)f_Y(y)dy$

خاصیت مهم

اگر $\ X_{i}$ ها متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با پارامترهای $\ (u_{i},\sigma^2)$ باشند انگاه $\ \sum_{i=1}^{N} x_{i}$ دارای توزیع نرمال با پارامترهای $\ \sum_{i=1}^{N} u_{i}$ و $\ \sum_{i=1}^{N} \sigma^2_{i}$ است.

توزیع های شرطی

برای محاسبه توزیع شرطی در حالت گسسته به شکل زیر عمل میکنیم:

$\ p_{X|Y}(x|y)=p\{X=x|Y=y\}=\tfrac{p\{X=x,Y=y\}}{p\{Y=y\}}$

همچنین برای محاسبه توزیع های شرطی در حالت پیوسته می توان به شکل زیر عمل کرد

$\ f_{X|Y}(x|y)=\tfrac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}$

و برای محاسبه تابع توزیع نجمعی

$\ F_{X|Y}(a|y)=p\{X<=a|Y=y\}=\int_{-\infty}^{a} f_{X|Y}(x|y)dx$

جستارهای وابسته

• متغیر تصادفی
• تابع چگالی احتمال
• احتمال شرطی

منابع

• مبانی احتمال، شلدون راس، ترجمه دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، ویرایش ششم