توزیع احتمال توام

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از توزیع احتمال مشترک)
پرش به: ناوبری، جستجو

توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک (به انگلیسی: Joint probability distribution) در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی \ x و \ y تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف میکنیم

\ F_{X,Y}(a,b)=p\{X<=a , y<=b\}       ,,     -\infty<a,b<\infty

تابع توزیع تجمعی \ x را می‌توان از تابع توزیع تجمعی مشترک به صورت زیر بدست اورد

\ F_x(a)=p\{X<=a , y<=\infty\}=F(a,\infty)     ,,     -\infty<a,b<\infty
به این ترتیب می‌توان بدست اورد
\  p\{X>a,Y>b\}=1-F_{X}(a)-F_{Y}(b)+F(a,b)

خواص مربوط به توزیع مشترک[ویرایش]

۱.در حالت توزیع پیوسته داریم

\  p\{X<=a , y<=b\}=\int_{-\infty}^{a} \int_{-\infty}^{b} f(x,y)dx dy

۲.با مشتقگیری جزئی درمیابیم

\      f(a,b)=\tfrac{d^2}{da db}F(a,b)

۳.\                   f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}

۴. \              p\{a<X<a+da , b<y<=b+db\}= \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da}  f(x,y)dxdy ~f(a,b)dadb

استقلال متغیرهای تصادفی[ویرایش]

متغیرهای تصادفی \ X و\ Y را مستقل می گویند اگر برای هر دو مجموعه از اعداد حقیقی \ A و\ B داشته باشیم

\ p\{X \in A , y \in B \}=p\{X \in A \} p\{y \in B\}
این تعریف را می‌توان بر اساس تابع توزیع تجمعی مشترک هم بیان کرد
\     F(a,b)=F_{X}(a)F_{Y}(b)
تعمیم این رابطه به حالت پیوسته به شکل زیر است
\     f(y,x)=f_{X}(x)f_{Y}(y)
به عبارت دیگر \ X ، \ Y مستقل خواهند بود اگر با دانستن یکی از انها تغییری در توزیع دیگری حاصل نشود.

مجموع متغیرهای تصادفی[ویرایش]

معمولاً محاسبه ی توزیع \ X+Y دارای اهمیت خاصی است.رابطه تابع تجمعی به شکل زیر است

\                                F_{X+Y}(a)=p\{X+Y<=a\}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{a-Y} f_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy
یعنی تابع توزیع تجمعی از پیچش توزیعهای \ Y و\ X به دست می اید.
اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم تابع چگالی بدست می اید
\ f_{X+Y}(a)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(a-Y)f_Y(y)dy

خاصیت مهم[ویرایش]

اگر \ X_{i} ها متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با پارامترهای \ (u_{i},\sigma^2) باشند انگاه \ \sum_{i=1}^{N} x_{i} دارای توزیع نرمال با پارامترهای \ \sum_{i=1}^{N} u_{i} و \ \sum_{i=1}^{N} \sigma^2_{i} است.

توزیع های شرطی[ویرایش]

برای محاسبه توزیع شرطی در حالت گسسته به شکل زیر عمل میکنیم:
\ p_{X|Y}(x|y)=p\{X=x|Y=y\}=\tfrac{p\{X=x,Y=y\}}{p\{Y=y\}}
همچنین برای محاسبه توزیع های شرطی در حالت پیوسته می توان به شکل زیر عمل کرد
\       f_{X|Y}(x|y)=\tfrac {f(x,y)}{f_{Y}(y)}

و برای محاسبه تابع توزیع نجمعی

\       F_{X|Y}(a|y)=p\{X<=a|Y=y\}=\int_{-\infty}^{a} f_{X|Y}(x|y)dx

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • مبانی احتمال، شلدون راس، ترجمه دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، ویرایش ششم