تعامد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
AB و CD برهم عمود هستند.

در ریاضیات، دو بردار را متعامد گویند هرگاه بر هم عمود باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها برابر با صفر باشد یا با هم زاویهٔ راست (۹۰ درجه) ساخته باشند.

تعریف‌ها[ویرایش]

تعریف. دو بردار x و y را در یک فضای ضرب داخلی V بر هم عمودند اگر ضرب داخلی \langle x, y \rangle صفر باشد. این تعامد را با x \perp y نشان می‌دهند.

تعریف. دو زیرفضای برداری A و B از یک فضای ضرب داخلی V را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از A به هر بردار از B عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده می‌شود.

تعریف. یک نگاشت خطی T : V \rightarrow V را نگاشت خطی متعامد می‌گوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار x و y در فضای ضرب داخلی V داشته باشیم:

\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.

این یعنی T زاویهٔ بین x و y را ثابت نگه می‌دارد و طول Tx و x برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود بر هم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای راست‌هنجار (متعامد یکه) می‌نامیم.

توابع متعامد[ویرایش]

مرسوم است که برای توابع f و g ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.

که در آن ‎w(x)‎ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در این صورت، می‌گوییم دو تابع بر هم عمودند اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد:

\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.

در این ضرب داخلی، طول بردارها (تابع‌ها) از ضرب داخلی بردار در خودش به دست می‌آید:

\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}

اعضای یک دنباله از توابع { fi : i = 1, 2, 3, ... } متعامد هستند اگر

\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\|f_i\|^2\delta_{i,j}=\|f_j\|^2\delta_{i,j}

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}

در رابطهٔ بالا

\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right.

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله بر هم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) 1 است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

مثال‌ها[ویرایش]

  • بردارهای (1, 3, 2)، (3, −1, 0) و (1/3, 1, −5/3) بر هم عمودند، زیرا ‎(1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1/3) + (−1)(1) + (0)(−5/3) = 0, (1)(1/3) + (3)(1) − (2)(5/3) = 0‎.
  • دو تابع 2t + 3 و 5t2 + t − 17/9 را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ [-1,1] و با تابع وزن w(x)=1 بر هم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با ‎10t3 + 17t2 − 7/9 t − 17/3‎ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:
\int_{-1}^{1} \left(10t^3+17t^2-{7\over 9}t-{17\over 3}\right)\,dt = \left[{5\over 2}t^4+{17\over 3}t^3-{7\over 18}t^2-{17\over 3}t\right]_{-1}^{1}
=\left({5\over 2}(1)^4+{17\over 3}(1)^3-{7\over 18}(1)^2-{17\over 3}(1)\right)-\left({5\over 2}(-1)^4+{17\over 3}(-1)^3-{7\over 18}(-1)^2-{17\over 3}(-1)\right)
={19\over 9}-{19\over 9}=0.

منابع[ویرایش]

  • ویکی‌پدیای انگلیسی

کتاب‌های رایگان برخط[ویرایش]