تجزیه مقدارهای منفرد

به عنوان یک تجزیه و فاکتورگیری ماتریسی، تجزیۀ مقدارهای منفرد یا تجزیۀ مقدارهای تکین (Singular value decomposition) قدمی اساسی در بسیاری از محاسبات علمی و مهندسی به‌حساب می‌آید.

مثال‌ها

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.$

یکی از تجزیۀ مقدارهای منفرد این ماتریس به صورت زیر است:

$U = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} , \Sigma = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} , V^* = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -\sqrt{0.8} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.2}\end{bmatrix}$

یعنی داریم که

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sqrt{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -\sqrt{0.8} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.2}\end{bmatrix}$

جستارهای وابسته

• جبر خطی عددی
• تحلیل مولفه‌های اصلی
• ویژه‌مقدار

منابع

• Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra". Section 6.7. 3rd ed., Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-5-5.
• Friedberg, S. H., Insel, A. J., Spence, L. E. (2003). "Linear Algebra", 4th ed., Prentice Hall. ISBN 0-13-008451-4

پیوندهای بیرونی

• بعضی تجزیه‌های مفید در جبر خطی عددی و کاربرد آن‌ها، توسط بهروز خاوری
• مقایسهٔ روش‌های پایدارسازی مستقیم و تکراری در پایدارسازی مسئلهٔ انتقال به سمت پایین تعیین ژئوئید، عبدالرضا صفری، و یحیی الله توکلی، مجلهٔ فیزیک زمین و فضا، دورهٔ ۳۴، شمارهٔ ۱، ۱۳۸۷، صفحهٔ ۱۰۸ - ۸۹