تبدیل هنکل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تبدیل هنکل (به انگلیسی: Hankel transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که اولین بار توسط هرمن هنکل، ریاضی‌دان آلمانی مطرح شد. این تبدیل با نام تبدیل فوریه-بسل نیز شناخته شده‌است.

تبدیل هنکل تبدیلی است که تابع f(r) را به صورت یک مجموع وزن‌دار از بی‌نهایت تابع بسل نوع اول J_\nu(kr) در نظر می‌گیرد. توابع بسل به‌کار رفته در این مجموع، همگی از مرتبه \nu هستند اما در عامل اندازه k در محور r متفاوت‌اند. ضریب ضروری F_v برای هر تابع بسل در عبارت مجموع، که تابعی از عامل اندازه یا همان k است، تابع تبدیل‌شده را تشکیل می‌دهد.

تعریف[ویرایش]

تابع هنکل مرتبه \nu برای تابع f(r) به صورت زیر تعریف می‌شود:

F_\nu(k) = \int_0^\infty f(r)J_\nu(kr)\,r\operatorname{d}\!r

که در آن J_\nu تابع بسل نوع اول از مرتبه \nu است با شرط \nu \ge -1/2.

معکوس[ویرایش]

معکوس تبدیل هنکل تابع F_\nu(k) نیز به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(r) =\int_0^\infty  F_\nu(k)J_\nu(kr) k\operatorname{d}\!k

تبدیل هنکل توابع رایج[ویرایش]

در جدول زیر تبدیل هنکل مرتبه صفر برای تعدادی ار توابع رایج آمده‌است:[۱]

f(r)\, F_0(k)\,
1\, \delta(k)/k\,
1/r\, 1/k\,
r\, -1/k^3\,
r^3\, 9/k^5\,
r^{m}\, \frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,
(قسمت صحیح m باید بین -2 و -1/2 باشد)
\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\, \frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,
\frac{1}{r^2+z^2}\, K_0(kz)\,
(z می‌تواند هر عدد مختلطی باشد)
e^{iar}/r\,  i/\sqrt{ a^2 - k^2} \quad (a>0, k<a) \,
 \,  1/\sqrt{ k^2 - a^2} \quad (a>0, k>a) \,
e^{-a^2r^2/2}\, \frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}
-r^2 f(r)\, \frac{\operatorname{d}^2\! F_0}{\operatorname{d}\!k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}\!F_0}{\operatorname{d}\!k}

در جدول زیر نیز تبدیل هنکل مرتبه \nu برای توابع پرکاربرد آمده است:

f(r)\, F_{\nu}(k)\,
r^s\, \frac{\Gamma\left(\frac 1 2 (2+\nu+s)\right)}{\Gamma(\tfrac 1 2 (\nu-s))} \frac{2^{s+1}}{k^{s+2}} \,
r^{\nu-2s}\Gamma\left(s,r^2 h\right)\, \frac12 \left(\frac k 2\right)^{2s-\nu-2}\gamma\left(1-s+\nu,\frac{k^2}{4h}\right)\,
e^{-r^2}r^\nu U\left(a,b,r^2\right)\, \frac{\Gamma(2+\nu-b)}{2\Gamma(2+\nu-b+a)}\left(\frac k 2\right)^\nu e^{-\frac{k^2}4}\,_1F_1\left(a,2+a-b+\nu,\frac{k^2}4\right)
-r^2 f(r)\, \frac{\operatorname{d}^2\! F_\nu}{\operatorname{d}\!k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}\!F_\nu}{\operatorname{d}\!k}-\frac{\nu^2}{k^2}F_\nu

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Papoulis, Athanasios. Systems and Transforms with Applications to Optics. Florida USA: Krieger Publishing Company. 140 - 175. ISBN ‎0898743583.