تبدیل موجک سریع

تبدیل موجک سریع الگوریتمی ریاضی برای یافتن تبدیل موجک یک سیگنال است. بدین منظور تصویر سیگنال بر روی هر یک از توابع موجک در زمانها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر حاصل‌ضرب داخلی سیگنال $f(t)$ با هر یک از موجک‌ها $\phi$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$s^{(J)}_n:=2^J \langle f(t),\phi(2^J t-n) \rangle,$

بدین تصویر سیگنال بر فضای $V_j$ برابر است با:

$P_J[f](x):=\sum_{n\in\Z} s^{(J)}_n\,\phi(2^Jx-n)$

تبدیل موجک گسسته

یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g

با داشتن مضارب $s^{(J)}$ می‌توان با الگوریتمی بازگشتی مضارب $s^{(J-1)}$ را با استفاده از رابطه زیر یافت:

$s^{(k)}_n:=\frac12 \sum_{m=-N}^N a_m s^{(k+1)}_{2n+m}$

یا:

$s^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(a^*(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))$

و:

$d^{(k)}_n:=\frac12 \sum_{m=-N}^N b_m s^{(k+1)}_{2n+m}$

یا:

$d^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(b^*(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))$

اعمال بانک فیلتر به صورت بازگشتی

که $(\downarrow 2)$ عملگر زیرنمونه‌گیری است و در فضای زد به صورت سری لوران ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:

$(\downarrow 2)(c(Z))=\sum_{k\in\Z}c_{2k}Z^k$

بدین ترتیب:

$P_k[f](x):=\sum_{n\in\Z} s^{(k)}_n\,\phi(2^kx-n)$

که حاصل جمع بالا، برابر با تصویر سیگنال $P_k[f](x)$ بر زیرفضای $V_k$ است. در نتیجه:

$P_J[f](x)=P_k[f](x)+D_k[f](x)+\dots+D_{J-1}[f](x)$

که ضرایب جزئی برابرند با:

$D_k[f](x):=\sum_{n\in\Z} d^{(k)}_n\,\psi(2^kx-n)$

که $\psi$ موجک مادر نامیده می‌شود.