تابع پارش (مکانیک آماری)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تابع پارش در فیزیک، مشخصات آماری یک سامانه را در تعادل ترمودینامیکی آن نشان می‌دهد. این تابع خود تابعی‌ست از دما و کمیت‌های دیگر مانند حجم. از این رو با داشتن تابع پارش یک سیستم می‌توان تمامی کمیتهای ترمودینامیکی آن سیستم را مانند انرژی آزاد، آنتروپی، فشار و انرژی درونی محاسبه کرد.

تعریف[ویرایش]

تابع پارش از جمع زدن تعداد میکروحالتهای مجاز یک سیستم در انرژی های صفر تا بی نهایت بدست می‌آید.

به زبان ریاضی، برای انسمبل کانونی:

 Z = \sum_{s} e^{- \beta E_s}

که در آن β برابر

\beta \equiv \frac{1}{k_BT}

(که T دمای مطلق و k_B ثابت بولتزمن)

E_s انری وابسته به هر میکرو حالت است.

و برای انسمبل‌های بزرگ کانونی:


\mathcal{Z} = \sum_{N=0}^\infty\,\sum_{\{n_i\}}\,\prod_i e^{-\beta n_i(\epsilon_i-\mu)}

که در آن n_i تعداد ذرات قرار گرفته در حالت s و μ پتانسیل شیمیایی است است.

رابطه تابع پارش با کمیتهای ترمودینامیکی[ویرایش]

انرژی درونی‌:

\langle E \rangle =  - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}

یا

\langle E\rangle = k_B T^2 \frac{\partial \ln Z}{\partial T}.

آنتروپی:

S \equiv \frac{\partial}{\partial T}(k_B T \ln Z)

فشار:


\langle p\rangle=\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial\ln(\mathcal{Z})}{\partial V} \right)_{\mu,\beta}.

منابع[ویرایش]

  • L. D. Landau and E. M. Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition Part 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996