تابع وارون

تابع f و معکوسش ƒ^–1

تابع وارون یا معکوس (به انگلیسی: Inverse Function): در ریاضیات اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، آن گاه تابع وارون (معکوس) f یا f⁻¹ تابعی از B به A است، با این ویژگی که برای هر x در دامنهٔ f، نتیجه‌ی اعمال پی‌درپی تابع و وارون آن روی x، خود x خواهد بود. به دیگر سخن:

$f^{-1}\left(\,f(x)\,\right)=x$

تعریف

اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R⁻¹ نشان می‌دهیم که عبارت است از:

$R^{-1}=\left\{{\left({y,x}\right):\left({x,y}\right)\in R}\right\}$

که رابطه‌ای از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X→Y نیز یک رابطه است. پس، معکوس آن را نیز می‌توان تعریف کرد که آن را با f⁻¹ نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است.

$f^{-1}=\left\{{\left({f(x),x}\right):x\in X}\right\}$

شرط معکوس‌پذیری

حال این سؤال مطرح می‌شود که آیا f⁻¹ همواره تابع است؟

برای این که f⁻¹:Y→X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن صدق کند. یعنی

• دامنه‌اش همان مجموعه Y باشد؛

برای اینکه دامنه f^-1 برابر مجموعه Y باشد، برد تابع f باید برابر مجموعه Y باشد. یعنی تابع f باید پوشا باشد.

• هر عضو Y را به عضوی یگانه از X تصویر کند.

برای اینکه f^-1 هر عضو از دامنه خود Y را به یک عضو یگانه از مجموعه X تصویر کند، باید برای هر x₁,x₂∈X داشته باشیم اگر (f(x₁)=f(x₂ آنگاه x₁=x₂. یعنی f باید یک به یک باشد.

بنابراین معکوس تابع f:X→Y یعنی f⁻¹ تابعی از Y به X خواهد بود اگر و فقط اگر f:X→Y یک دوسویی باشد. در این حالت f⁻¹:Y→X را تابع معکوس تابع f می‌گوییم.

ویژگی‌ها

اگر f⁻¹ معکوس تابع f:X→Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f⁻¹ داریم:

1. ${\mbox{dom}}f^{-1}={\mbox{ran}}f$
2. ${\mbox{ran}}f^{-1}={\mbox{dom}}f$

همچنین اگر (y=f(x پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f⁻¹) پس (x=f⁻¹(y و بلعکس.

نمودار تابع معکوس

رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f⁻¹ معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f⁻¹ معکوس تابع f:X→Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید.

همچنین اگر f تابعی تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.

جستارهای وابسته

• تابع‌های وارون مثلثاتی

مطالعه بیشتر

• ویدیوهای آموزشی تابع به زبان فارسی در کلاس درس: [۱]