تابع معکوس

تابع f و معکوسش ƒ^–1

در ریاضیات اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، آن گاه تابع معکوس f یا f^-1 تابعی از B به A است، با این ویژگی که برای هر x در دامنهٔ f

$f^{-1}\left( \, f(x) \, \right) = x$

تعریف

اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R^-1 نشان می‌دهیم که عبارت است از:

$R^{ - 1} = \left\{ {\left( {y,x} \right):\left( {x,y} \right) \in R} \right\}$

که رابطه‌ای از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X→Y نیز یک رابطه است. پس معکوس آن را نیز می‌توان تعریف کرد که آن را با f^-1 نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است.

$f^{ - 1} = \left\{ {\left( {f(x),x} \right):x \in X} \right\}$

شرط معکوس‌پذیری

حال این سوال مطرح می‌شود که آیا f^-1 همواره تابع است؟

برای این که f^-1:Y→X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن صدق کند. یعنی

• دامنه‌اش همان مجموعه Y باشد؛

برای اینکه دامنه f^-1 برابر مجموعه Y باشد، برد تابع f باید برابر مجموعه Y باشد. یعنی تابع f باید پوشا باشد.

• هر عضو Y را به عضوی یگانه از X تصویر کند.

برای اینکه f^-1 هر عضو از دامنه خود Y را به یک عضو یگانه از مجموعه X تصویر کند، باید برای هر x₁,x₂∈X داشته باشیم اگر (f(x₁)=f(x₂ آنگاه x₁=x₂. یعنی f باید یک به یک باشد.

بنابراین معکوس تابع f:X→Y یعنی f^-1 تابعی از Y به X خواهد بود اگر وفقط اگر f:X→Y یک دوسویی باشد. در این حالت f^-1:Y→X را تابع معکوس تابع f می‌گوییم.

ویژگی‌ها

اگر f^-1 معکوس تابع f:X→Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f^-1 داریم:

1. $\mbox{dom}f^{-1}=\mbox{ran}f$
2. $\mbox{ran}f^{-1}=\mbox{dom}f$

همچنین اگر (y=f(x پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f^-1) پس (x=f^-1(y و بلعکس.

نمودار تابع معکوس

رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f^-1 معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f^-1 معکوس تابع f:X→Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید.

همچنین اگر f تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.

مطالعه بیشتر

• ویدیوهای آموزشی تابع به زبان فارسی در کلاس درس: [۱]