تابع محدب

تابع محدب بر یک بازه

اگر تابع پیوسته $f$ دارای این خاصیت باشد که در فاصلهٔ هر دو نقطه، نمودار تابع زیر وتر بین دو نقطه باشد، گوییم $f$ یک تابع محدب است یا تحدب $f$ به سمت بالاست. توابع $f(x)=x^2$ و تابع نمایی $f(x)=e^x$ دو مثال آشنا از توابع محدب هستند. بسیاری از نابرابری‌های متداول در آنالیز ریاضی ریشه در تحدب دارند. نابرابری‌های ینسن، هولدر، مینکوفسکی چند نمونه از این نابرابری‌ها هستند.

تعریف

فرض کنیم $-\infty\le a<b\le+\infty$، تابع $f:(a,b)\to \mathbb R$ را محدب گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد $x_1,x_2\in(a,b)$ و هر $t$ که $0\le t\le1$، داشته باشیم:

$f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2)$

اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه $f$ را اکیداً محدب می‌نامیم.

جستارهای وابسته

• مجموعه محدب
• بهینه‌سازی محدب

منابع

• مدقالچی، علیرضا. آنالیز ریاضی ۱. چاپ نهم. تهران: دانشگاه پیام نور، ۱۳۸۸. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵. 
• رودین، والتر. آنالیز حقیقی و مختلط. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ ششم. تهران: مبتکران، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۵۹۹۳-۵۱-۱.