تابع انتگرال لگاریتم

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات،تابع انتگرال لگاریتم یا انتگرال لگاریتم نام یکی از توابع ویژه است که کاربرد بسیاری را در نظریه اعداد اول ایفا می کند.

نمودار تابع انتگرال لگاریتم

تعریف[ویرایش]

تابع انتگرال لگاریتم را با نماد  {\rm li} (x)  \; نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود

 {\rm li} (x) =   \int_0^x \frac{dt}{\ln t}. \;

نمایش تابع به صورت سری[ویرایش]

تابع انتگرال لگاریتم را می توان به صورت چندین سری مختلف نمایش داد.برای مثال:


 {\rm li} (x) =
 \gamma
 + \ln \ln x
 + \sqrt{x} \sum_{n=1}^\infty
                \frac{ (-1)^{n-1} (\ln x)^n}  {n! \, 2^{n-1}}
                \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1} .

که در اینجا γ ثابت اویلر نام دارد و حدوداً برابر است با γ ≈ 0.57721 56649 01532

هم ارزی های تابع[ویرایش]

برای این تابع هم ارزی های مختلفی وجود دارد از جمله

 {\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln x} \right) \;

 {\rm li} (x) \sim \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln x)^k}

 \frac{{\rm li} (x)}{x/\ln x}  \sim  1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{(\ln x)^2} + \frac{6}{(\ln x)^3} + \cdots


تابع آفست انتگرال لگاریتم و کاربردآن[ویرایش]

تابع آفست انتگرال لگاریتم را با نماد  {\rm Li} (x) نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود

 {\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t} \, = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) \,

این تابع در ریاضیات گسسته و نظریه اعداد اول کاربرد قابل توجهی را دارا می باشد مثلاً ثابت شده است که :

\pi(x)\sim\operatorname{Li}(x)

که در آن \pi(x) تابع شمارش اعداد اول است .

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Logarithmic integral function»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.