تابعک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات و به خصوص در آنالیز تابعی ٬ یک تابعی یا تابعک (به انگلیسی: Functional) ٬ نگاشتی از یک فضای برداری به میدان اسکالر تشکیل‌دهنده آن است. به بیان دیگر ٬ تابعیست که یک بردار را به عنوان ورودی گرفته و یک اسکالر برمی‌گرداند. معمولا فضای برداری یک یاد شده فضایی از توابع است و بنابراین ٬ گاهی تابعی را نگاشتی از توابع به اسکالر می‌دانند. استفاده از آن از حسابان تغییرات سرچشمه می‌گیرد ٬ که در آنجا هدف یافتن یک تابع است که تابعی مورد نظر را کمینه کند.یک کاربرد به طور خاص مهم آن در فیزیک، جستجو برای حالتی از یک سیستم است که تابعک انرژی را حداقل کند.

تبدیلات توابع مفهومی کلی تر است، عملگر را ببینید.

دوگانی[ویرایش]

نگاشت x_0\mapsto f(x_0) یک تابع است و در آن x_0 آرگومان تابع f می‌باشد.

حال٬ نگاشتن یک تابع به مقدارش در یک نقطه ٬ یعنی f\mapsto f(x_0) ٬ یک تابعی است.در اینجا x_0 پارامتر آن است.

با فرض اینکه f تابعی خطی از یک فضای برداری خطی به فضای اسکالر زیربنایی آن است ٬ نگاشت‌های خطی بالا ٬ دوگان یکدیگرند و در آنالیز تابعی آن‌ها را تابعی خطی می‌نامند.[۱]

انتگرال معین[ویرایش]

انتگرال‌هایی مانند

f\mapsto I[f]=\int_{\Omega} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mu(\mbox{d}x)

دسته‌ی خاصی از تابعی‌ها را تشکیل می‌دهند. این تابعی‌ها ٬با فرض H حقیقی ٬ f را به یک عدد حقیقی می‌نگارند. به عنوان چند نمونه:

  • مساحت زیر نمودار یک تابع مثبت f:
f\mapsto\int_{x_0}^{x_1}f(x)\;\mathrm{d}x

f\mapsto \left(\int|f|^p \; \mathrm{d}x\right)^{1/p}

معادله تابعی[ویرایش]

مشتق‌های تابعی در مکانیک لاگرانژی استفاده می‌شوند. آن‌ها مشتق تابعی‌ها هستند، یعنی چگونگی تغییر تابعی را در حالتی که تابع به مقدار کمی تغییر می‌کند بیان می‌کنند. حساب تغییرات را ببینید.

ریچارد فاینمن از انتگرال‌های تابعی به عنوان ایده‌ی اساسی در فرمول‌بندی انتگرال مسیر مکانیک کوانتومی استفاده کرد.

  • طول قوس یک منحنی در فضای دوبعدی اقلیدسی:

f \mapsto \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{ 1+|f'(x)|^2 } \; \mathrm{d}x

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Lang، Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.). Springer-Verlag.