تئوری آکوستیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تئوری آکوستیک به تفسیر ریاضی امواج صوت وابسته‌است و از دینامیک سیالات استنتاج می‌شود. انتشار امواج صوتی در سیال (مانند هوا) را می‌توان بوسیله معادله حرکت (پایستگی تکانه) و معادله پیوستگی (بقای جرم) مدلسازی کرد. با در نظرگرفتن پاره‌ای ساده سازی‌ها، بویژه ثابت در نظر گرفتن چگالی، این معادلات بصورت زیر بیان می‌شوند:


  \begin{align}
     \rho_0 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \nabla p & = 0  \qquad \text{ } \\
     \frac{\partial p}{\partial t} + \kappa~\nabla \cdot \mathbf{v} & = 0  \qquad \text{ }
  \end{align}

که این دو معادله بترتیب بیانگر موازنه تکانه و موازنه جرم هستند. در این معادلات p(\mathbf{x}, t) فشار آکوستیک و \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) بردار سرعت آکوستیکی سیال، \mathbf{x} بردار مختصات فضایی،x, y, z، و t زمان، \rho_0 چگالی ایستایی جرم محیط و \kappa مدول بالک محیط می‌باشند. مدول بالک را می‌توان برحسب چگالی و سرعت صوت در محیط (c_0) بصورت زیر بیان کرد:

\kappa = \rho_0 c_0^2 ~.

معادله موج آکوستیک ترکیبی از این دو دسته معادله توازن است که آن را می‌توان بصورت زیر بیان کرد:


   \cfrac{\partial^2 \mathbf{v}}{\partial t^2} - c_0^2~\nabla^2\mathbf{v} = 0
   \qquad \text{or} \qquad
   \cfrac{\partial^2 p}{\partial t^2} - c_0^2~\nabla^2 p = 0

معادله موج آکوستیک (و معادلات جرم و تکانه) معمولاً برحسب \varphi که \mathbf{v} = \nabla\varphi بیان می‌شوند. به این ترتیب، معادله موج آکوستیک را می‌توان بصورت زیر باز نویسی کرد:


  \cfrac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - c_0^2~\nabla^2 \varphi = 0

و معادلات توازن تکانه و جرم نیز بصورت زیر بیان می‌شوند:


   p + \rho_0~\cfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0 ~;~~
   \rho + \cfrac{\rho_0}{c_0^2}~\cfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0 ~.

منابع[ویرایش]