تئوری آکوستیک

تئوری آکوستیک به تفسیر ریاضی امواج صوت وابسته‌است و از دینامیک سیالات استنتاج می‌شود. انتشار امواج صوتی در سیال (مانند هوا) را می‌توان بوسیله معادله حرکت (پایستگی تکانه) و معادله پیوستگی (بقای جرم) مدلسازی کرد. با در نظرگرفتن پاره‌ای ساده سازی‌ها، بویژه ثابت در نظر گرفتن چگالی، این معادلات بصورت زیر بیان می‌شوند:

$\begin{align} \rho_0 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \nabla p & = 0 \qquad \text{ } \\ \frac{\partial p}{\partial t} + \kappa~\nabla \cdot \mathbf{v} & = 0 \qquad \text{ } \end{align}$

که این دو معادله بترتیب بیانگر موازنه تکانه و موازنه جرم هستند. در این معادلات $p(\mathbf{x}, t)$ فشار آکوستیک و $\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$ بردار سرعت آکوستیکی سیال، $\mathbf{x}$ بردار مختصات فضایی،$x, y, z$، و $t$ زمان، $\rho_0$ چگالی ایستایی جرم محیط و $\kappa$ مدول بالک محیط می‌باشند. مدول بالک را می‌توان برحسب چگالی و سرعت صوت در محیط ($c_0$) بصورت زیر بیان کرد:

$\kappa = \rho_0 c_0^2 ~.$

معادله موج آکوستیک ترکیبی از این دو دسته معادله توازن است که آن را می‌توان بصورت زیر بیان کرد:

$\cfrac{\partial^2 \mathbf{v}}{\partial t^2} - c_0^2~\nabla^2\mathbf{v} = 0 \qquad \text{or} \qquad \cfrac{\partial^2 p}{\partial t^2} - c_0^2~\nabla^2 p = 0$

معادله موج آکوستیک (و معادلات جرم و تکانه) معمولاً برحسب $\varphi$ که $\mathbf{v} = \nabla\varphi$ بیان می‌شوند. به این ترتیب، معادله موج آکوستیک را می‌توان بصورت زیر باز نویسی کرد:

$\cfrac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - c_0^2~\nabla^2 \varphi = 0$

و معادلات توازن تکانه و جرم نیز بصورت زیر بیان می‌شوند:

$p + \rho_0~\cfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0 ~;~~ \rho + \cfrac{\rho_0}{c_0^2}~\cfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0 ~.$

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی