بی‌نهایت مطلق

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
Real projective line.svg

در ریاضیات به اعدادی به شکل \frac{K}{0} به طوری که K≠۰ باشد بی نهایت مطلق گویند آن را با نماد \infty نمایش می‌دهند.

مثلاً: \frac{1}{0} = \infty

اعمال ریاضی بروی بی نهایت مطلق[ویرایش]

{\infty} +  {\infty} = \frac{0}{0}

{\infty} -  {\infty} = \frac{0}{0}

\frac{\infty}   {\infty} = \frac{0}{0}

{\infty}. {\infty} = {\infty}

{\infty}. K = {\infty}

{\infty} + K = {\infty}

\frac{1}{\infty} = 0

شکل‌های دیگر بی نهایت مطلق[ویرایش]

log(0)={\infty}

0^{-1}={\infty}

(-1)!={\infty}

tan(\frac {\pi}{2})={\infty}

بینهایت مطلق و تناقض‌های ریاضی[ویرایش]

لئونارد اویلر ریاضیدان سوئیسی در قرن ۱۸ نوشت

1-2+3-4+... =1/4

اثبات اویلر به شکل زیر بود


\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+&(1-2+3-4+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
 &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}

اگر تساوی بالا درست باشد آنگاه:

1-1+1-1+... =1/2

همانطور که می‌بینید دنباله بالا فقط اعداد ۰ و ۱ را تولید می‌کند چطور ممکن است است که به عدد \frac{1}{2} همگرا باشد.

واقعاً تساوی بالا شگفت انگیز و نوعی پارادوکس است زیرا دنباله بالا واگراست.

زیبایی‌های بینهایت مطلق[ویرایش]

دو خط موازی در بی نهایت مطلق به هم می‌رسند

اثبات: به شکل زیر توجه کنید

INFINITY

دو خط سیاه و قرمز در نقطه O به هم می‌رسند. برای اینکه بفهمیم دو خط قرمز و سیاه کجا به هم می‌رسند باید مقدار Z را بدست آوریم. یعنی اندازه z معیاری است برای اینکه بفهمیم خط قرمز پس از طی چه مسافتی به خط سیاه می‌رسد. می دانیم

 \cos(a) = \frac {y}{z}

پس

 z = \frac {y}{ \cos(a) }

پس خط قرمز پس از مسافت z به خط سیاه خواهد رسید.

حال اگر خط سیاه را ثابت نگه داشته ولی زاویه a را تغییر داده و آن را به ۹۰ درجه برسانیم یعنی a=۹۰. آنگاه دو خط قرمز و سیاه مطابق شکل زیر موازی هم خواهند شد.

Infinity 2

در اینجا دو خط سیاه و قرمز موازی هم خواهند بود. برای اینکه بفهمیم این دو خط در کجا به هم می‌رسند یعنی خط قرمز پس از طی چه مسافتی به خط سیاه خواهد رسید باید مقدار z را در این حالت به دست آوریم.

طبق اثبات بالا می دانیم:

z = \frac {y}{ \cos(a) }

در اینجا a=۹۰ پس

z = \frac {y}{ \cos(90) } = \frac {y}{0} = \infty

پس ثابت شد دو خط موازی قرمز و سیاه در بی نهایت به هم خواهند رسید

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Real projective line»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.