الگوریتم دیکسترا

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از الگوریتم دایکسترا)
پرش به: ناوبری، جستجو
الگوریتم دیکسترا
اجرا الگوریتم دایکسترا
اجرا الگوریتم دایکسترا
کلاس الگوریتم جستجو
داده ساختار Graph
بدترین زمان اجرا O(|E| + |V| \log|V|)

در نظریه گراف، الگوریتم دایکسترا (به انگلیسی: Dijkstra's algorithm) یکی از الگوریتم‌های پیمایش گراف است که توسط دانشمند هلندی علوم رایانه، اِدْسْخِر دایْکْسْترا در سال ۱۹۵۹ ارایه شد.

این الگوریتم یکی از الگوریتم‌های پیمایش گراف است که مسئلهٔ کوتاه‌ترین مسیر از مبدأ واحد را برای گراف‌های وزن‌داری که یال با وزن منفی ندارند، حل می‌کند و در نهایت با ایجاد درخت کوتاه‌ترین مسیر، کوتاه‌ترین مسیر از مبدأ به همهٔ رأس‌های گراف را به دست می‌دهد. همچنین می‌توان از این الگوریتم برای پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر از مبدأ تا رأس مقصد به این ترتیب بهره جست که در حین اجرای الگوریتم به محض پیداشدن کوتاه‌ترین مسیر از مبدأ به مقصد، الگوریتم را متوقف کرد.

الگوریتم دایکسترا به نام کوتاه ترین مسیر تک منبع (single-source shortest path) نیز معروف است و مشابه الگوریتم پریم می باشد در صورتی که گراف یال با وزن منفی داشته باشد، این الگوریتم درست کار نمی‌کند و می‌بایست از الگوریتم‌های دیگر نظیر الگوریتم بلمن-فورد که پیچیدگی زمانی آنها بیشتر است استفاده کنیم.

خط مشی الگوریتم دایکسترا، مشابه با روش حریصانهٔ استفاده شده در الگوریتم پریم برای پیدا کردن زیر درخت فراگیر بهینه است.

نام گذاری[ویرایش]

نام این الگوریتم بر اساس نام ارائه‌دهنده هلندی آن، یعنی اِدسخِر دایکسترا انتخاب شده است. در منابع فارسی آن را به شکل‌های دِیکسترا، دایجسترا، دیجسترا، دایجکسترا و دیجکسترا هم نوشته شده است، ولی جیمِ آن در تلفظ صحیح هلندی و انگلیسی آن تلفظ نمی‌شود، لذا دو مورد اول صحیح‌اند.

روند[ویرایش]

روند الگوریتم دایکسترا مطابق زیر می باشد :

1- انتخاب راس مبدا

2- مجموعه ی S ، شامل رئوس گراف ، معین می شود. در شروع، این مجموعه تهی بوده و با پیشرفت الگوریتم، این مجموعه رئوسی که کوتاه ترین مسیر به آن ها یافت شده است را در بر می گیرد.

3- راس مبدا با اندیس صفر را در داخل S قرار می دهد.

4- برای رئوس خارج از S ، اندیسی معادل ، طول یال + اندیس راس قبلی ، در نظر می گیرد . اگر راس خارج از مجموعه دارای اندیس باشد، اندیس جدید کمترین مقدار از بین اندیس قبلی و طول یال + اندیس راس قبل ، می باشد.

5- از رئوس خارج مجموعه، راسی با کمترین اندیس انتخاب شده و به مجموعه ی S اضافه می گردد.

6- این کار را دوباره از مرحله ی 4 ادامه داده تا راس مقصد وارد مجموعه ی S شود.

در پایان اگر راس مقصد دارای اندیس باشد، اندیس آن نشان دهنده ی مسافت بین مبدا و مقصد می باشد. در غیر این صورت هیچ مسیری بین مبدا و مقصد موجود نمی‌باشد.

همچنین برای پیدا کردن مسیر می توان اندیس دیگری برای هر راس در نظر گرفت که نشان دهنده ی راس قبلی در مسیر طی شده باشد. بدین ترتیب پس از پایان اجرای الگوریتم، با دنبال کردن رئوس قبلی از مقصد به مبدا، کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه نیز یافت می شود.

این الگوریتم چگونه کار می‌کند؟[ویرایش]

در حین اجرای الگوریتم دو چیز به طور ضمنی نگهداری می‌شود. یکی مجموعهٔ S از رأس‌هایی که وزن کوتاه‌ترین مسیر از مبدأ تا آن‌ها مشخص شده و دیگری دنبالهٔ d که برای هر رأس v، مقدار d_v برابر وزن کوتاه‌ترین مسیر از مبدأ تا v است به شرطی که تمام رأس‌های این مسیر به جز v از رئوس داخل S باشند. S در ابتدا تهی و مقادیر d برای همهٔ رئوس به غیر از مبدأ بی‌نهایت است و مقدار آن برای مبدأ صفر گذاشته می‌شود. الگوریتم در هر مرحله رأسی خارج S را که d برای آن کمترین است انتخاب و به مجموعهٔ S اضافه می‌کند و سپس مقادیر d را برای رئوس همسایهٔ آن رأس به‌روز می‌نماید. در صورتی که نیاز به تشکیل درخت کوتاه‌ترین مسیر باشد، الگوریتم می‌بایست دنبالهٔ \pi را که \pi_v پدر رأس v در درخت کوتاه‌ترین مسیر است، به همراه دنبالهٔ d به‌روز کند.

الگوریتم[ویرایش]

در پیاده‌سازی، برای اینکه مشخص کنیم چه رئوسی در مجموعهٔ S هستند، در هر مرحله رأسِ وارد شده به S را برچسب می‌زنیم.

پیاده‌سازی[ویرایش]

یک پیاده‌سازی نوعی به این شرح است:

 1  Algorithm Dijkstra(G,s)
 2  Input : G=(V,E), s(the source vertex)
 3  Output : two sequence d and \pi
 4  begin
 5      for all vertices w do
 6          d_w  = \infty 
 7          \pi_w  = NULL
 8      d_s  = ۰
 9      while there exists an unmarked vertex do
10         let w be an unmarked vertex such that d_w  is minimum
11         mark w
12         for all edge (w,z) such that z is unmarked do
13             if d_w + weight(w,z) <d_z  then
14                 d_z  = d_w + weight(w,z)
15                 \pi_z = w
16  end

پیچیدگی زمانی[ویرایش]

در ساده‌ترین پیاده‌سازی الگوریتمِ دایکسترا، داده‌ها در آرایه یا لیست پیوندی ذخیره می‌شوند که بدین ترتیب مینیمم مقدار d برای رئوس خارج S با الگوریتمی خطی یافت می‌شود. در این حالت پیچیدگی زمانی O(|V|^2+|E|) خواهد بود، چراکه در گراف بدون جهت هر یال دقیقاً دوبار و در گراف جهت‌دار هر یال دقیقاً یک بار پیمایش می‌شود و هم‌چنین پیدا کردن مینیمم، (|O(|V زمان می‌خواهد که این مینیمم پیدا کردن |V| بار تکرار خواهد شد. برای گراف‌های پراکنده (یعنی گراف‌هایی که خیلی کمتر از مجذور |V| یال دارند) الگوریتم دایکسترا با نگهداری گراف در فهرست مجاورت و استفاده از صف اولویت‌دار (Priority-Queue) (برای پیدا کردن مینیمم) با پیچیدگی زمانی O((|V|+|E|)log|V|) پیاده‌سازی می‌شود. در صورت استفاده از نگهدارندهٔ فیبوناتچی (Fibonacci heap) به جای صف اولویت‌دار، پیچیدگی زمانی با تحلیل جمعی (Amortized analysis) به O(|E|+|V|log|V|) بهبود می‌یابد.

کاربردها[ویرایش]

از جمله مهمترین کاربرد های این روش می توان به محاسبه ی کوتاه ترین فاصله ی دو نقطه در یک شهر از طریق راه های زمینی اشاره نمود. برای محاسبه ی کوتاه ترین مسیر بین دو نقطه باید نقاط مورد نظر در یک نقشه را علامت گذاری کرد و با استفاده از مشخصات نقاط(طول، عرض و ارتفاع) فاصله ی دو نقطه را در هر بار عملیات محاسبه نمود.توجه داریم که در ترافیک سرعت خودرو ها به شدت پایین آمده و این امر می تواند در انتخاب کوتاه ترین مسیر تاثیر گذار باشد چرا که ممکن است بین دو نقطه a,b راه های 1و2 موجود باشد که راه 1 اتوبان و از خارج شهر و راه 2 از داخل شهر عبور می کند. فرض کنید فاصله ی a,b از طریق راه 1 حدود 10 کیلومتر و از طریق راه 2 حدود 7 کیلومتر باشد ولی راه 2 علی رقم فاصله ی کمتر دارای ترافیک سنگین است در نتیجه می توان انتظار داشت که در ساعات شلوغی استفاده از راه 1 بهتر باشد.از آن جا که اساس محاسبات در این روش بر پایه ی فاصله بین دو نقطه است می توان کاهش سرعت را با افزایش فواصل هم ارز نمود چرا که اگر رابطه ی سرعت و فاصله را خطی در نظر بگیریم (D=V.T)تاثیر کاهش سرعت و افزایش مسافت یکسان است.از این رو لازم است تا ضرایب تعدیلی در فواصل بین نقاط ضرب شده و این مسائل را در محاسبات لحاظ کرد. از جمله مهم ترین این ضرایب می توان به 3 مورد زیر اشاره نمود: 1-ضریب ترافیک و شلوغی 2-ضریب عرض معبر 3-ضریب شیب که نشانگر افت سرعت در سر بالایی هااست. گرچه تعیین این ضرایب برای نقاط مختلف شهر نیازمند کارشناسان متخصص ترافیک و بررسی های آماری دقیق می باشد ولی می توان انتظار داشت که در اکثر موارد این ضرایب بین مقادیر 1 تا 2 بسته به شرایط تغییر کنند.

پیوند به بیرون[ویرایش]

منابع[ویرایش]