اعداد خوشحال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تعریف کلی[ویرایش]

اعداد خوشحال عدد صحیح مثبتی را در نظر بگیرید و مجموع مربعات ارقام آن را به عنوان عدد بعدی بنویسید. این کار را ادامه دهید. در صورتیکه این رویه به عدد یک ختم شود عدد اصلی شما یک عدد خوشحال (به انگلیسی: happy number) نامیده می‌شود در غیر این صورت آن عدد یک عدد غیر خوشحال (به انگلیسی: unhappy number) می‌باشد.
به طور مثال:

۷ -> ۴۹ -> ۹۷ -> ۱۳۰ -> ۱۰ -> ۱
پس عدد ۷ یک عدد خوشحال است.
۴ -> ۱۶ -> ۳۷ -> ۵۸ -> ۸۹ -> ۱۴۵ -> ۴۲ -> ۲۰ -> ۴
پس عدد ۴ یک عدد غیر خوشحال است.

تعریف رسمی[ویرایش]

عدد معلوم n=n۰ را در نظر بگیرید. توالی از اعداد n۱ ,n۲, n۳ و... را در نظر بگیرید به طوریکه ni+۱ مجموع مربعات ارقام ni باشد. آنگاه n یک عدد خوشحال است اگر و تنها اگر وجود داشته باشد i ای که ۱=ni.

ویژگی مهم[ویرایش]

اگر بک عدد خوشحال باشد تمام اعضای توالی ان نیز خوشحال خواهند بود و اگر عددی غیر خوشحال باشد تمام اعداد توالی آن نیز غیر خوشحال خواهند بود.۷ یک عدد خوشحال است پس اعداد حاصل از آن در توالی اعداد هم خوشحال هستند.
۷۲ = ۴۹ ۴۲ + ۹۲ = ۹۷ ۹۲ + ۷۲ = ۱۳۰ ۱۲ + ۳۲ + ۰۲ = ۱۰ ۱۲ + ۰۲ = ۱

عدد اول خوشحال[ویرایش]

اعداد خوشحال عدد خوشحالی است که اول باشد.
همهٔ اعداد و در نتیجه همه اعداد اول به شکل ۳+ ۱۰n و ۱۰n+۹ اعداد خوشحال هستند.(اولی را می‌توان ۱۳ و دومی را می‌توان ۱۹ در نظر گرفت و از صفرها صرف نظر کرد)

اعداد خوشحال کمتر از ۵۰۰[ویرایش]

اعداد خوشحال کمتر از ۵۰۰ عبارتند از:
۱, ۷, ۱۰, ۱۳, ۱۹, ۲۳, ۲۸, ۳۱, ۳۲, ۴۴, ۴۹, ۶۸, ۷۰, ۷۹, ۸۲, ۸۶, ۹۱, ۹۴, ۹۷, ۱۰۰, ۱۰۳, ۱۰۹, ۱۲۹, ۱۳۰, ۱۳۳, ۱۳۹, ۱۶۷, ۱۷۶, ۱۸۸, ۱۹۰, ۱۹۲, ۱۹۳, ۲۰۳, ۲۰۸, ۲۱۹, ۲۲۶, ۲۳۰, ۲۳۶, ۲۳۹, ۲۶۲, ۲۶۳, ۲۸۰, ۲۹۱, ۲۹۳, ۳۰۱, ۳۰۲, ۳۱۰, ۳۱۳, ۳۱۹, ۳۲۰, ۳۲۶, ۳۲۹, ۳۳۱, ۳۳۸, ۳۵۶, ۳۶۲, ۳۶۵, ۳۶۷, ۳۶۸, ۳۷۶, ۳۷۹, ۳۸۳, ۳۸۶, ۳۹۱, ۳۹۲, ۳۹۷, ۴۰۴, ۴۰۹, ۴۴۰, ۴۴۶, ۴۶۴, ۴۶۹, ۴۷۸, ۴۸۷, ۴۹۰, ۴۹۶.

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «اعداد خوشحال»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۴ دی ۱۳۹۱).