اصل شمول و عدم شمول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ترکیبیات اصل شمول و عدم شمول یک تکنیک شمارش است که روش معمول شمارش اعضای اجتماع دو مجموعه متناهی -که به صورت زیر است- را بسط می‌دهد.

 |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|,

که A و B دو مجموعه‌ی متناهی اند و |S| نمایانگر تعداد اعضای مجموعه‌ی متناهی S است. این فرمول بیان می‌کند که مجموع اندازه‌ی دو مجموعه ممکن است بزرگتر از اندازه‌ی اجتماع آن‌ها باشد چون بعضی از اعضا شاید دو بار شمرده شوند. اعضایی که دو بار شمرده شده‌اند همان اعضایی اند که در اشتراک دو مجموعه حضور دارند بنابراین با کم کردن این تعداد، اندازه‌ی واقعی مجموعه‌ی اجتماع بدست می‌آید. این اصل در حالتی که سه مجموعه داریم واضح‌تر دیده می‌شود:

|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|.

این فرمول می‌تواند به این صورت امتحان شود که بشماریم هر ناحیه در نمودار ون چند بار در سمت راست فرمول شمرده شده است.

نمودار ون اصل شمول و عدم شمول برای سه مجموعه

بسط نتایج این مثال‌ها اصل شمول و عدم شمول را بدست می‌دهد: برای یافتن اندازه‌ی اجتماع n مجموعه،

  1. اندازه‌ی هر مجموعه را اضافه کنید،
  2. اندازه‌ی اشتراک دو به دو مجموعه‌ها را کم کنید،
  3. اندازه‌ی اشتراک هر سه‌تایی از مجموعه‌ها را اضافه کنید،
  4. اندازه‌ی اشتراک هر چهارتایی از مجموعه‌ها را کم کنید،
  5. اندازه‌ی اشتراک هر پنج‌تایی از مجموعه‌ها را اضافه کنید،
  6. به همین صورت ادامه دهید تا زمانی که اندازه‌ی اشتراک nتایی مجموعه‌ها اضافه (برای n فرد) یا کم (برای n زوج) شود.

این اسم از اینجا آمده که این اصل براساس یک سری شمول و عدم شمول استوار است. این مفهوم به ابراهام دو مواور (۱۷۱۸) نسبت داده می‌شود، ولی اول‌بار در مقاله‌ای از دنیل داسیلوا (۱۸۵۴) و بعدا در مقاله‌ای از جیمز جوزف سیلوستر (۱۸۸۳) ظاهر شد. به همین دلیل گاهی این اصل به عنوان فرمول داسیلوا یا سیلوستر شناخته می‌شود.

از آنجایی که احتمالات متناهی براساس اندازه‌ی فضای احتمال محاسبه می‌شوند، زمانی که اندازه‌ی مجموعه‌ها با احتمالات متناهی جایگزین می‌شوند، فرمول‌های اصل شمول و عدم شمول همچنان برقرار خواهد بود. به‌صورت کلی‌تر، هر دو نسخه از این اصل را می‌توان در چتر بزرگتر نظریه‌ی اندازه‌گیری جای داد.

در یک نگاه کاملا انتزاعی، اصل شمول چیزی فراتر از محاسبه‌ی معکوس یک ماتریس نیست. از این نقطه‌نظر از لحاظ ریاضوی هیچ چیز جالبی درمورد این اصل وجود ندارد. با وجود این استفاده‌پذیری گسترده‌ی این اصل باعث می‌شود که این اصل به ابزاری بسیار ارزشمند در ترکیبیات و رشته‌های مرتبط با آن بدل شود. آنطور که جیان کارلو روتا گفته است:

"یکی از پراستفاده‌ترین اصول در شمارش و احتمالات گسسته و ترکیبیات، اصل شمول و عدم شمول است. زمانی که این اصل با مهارت کافی استفاده شود می‌تواند پاسخ بسیاری از مسائل ترکیبیاتی را بدست آورد."

بیان[ویرایش]

هر جمله در اصل شمول و عدم شمول رفته رفته باعث تصحیح شمارش می‌شود تا جایی که هر قسمت در نمودار ون دقیقا یک بار شمرده شود.

در حالت کلی، این اصل بیان می‌کند که برای مجموعه‌های متناهی An،...،A۱، اتحاد زیر برقرار است:


\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| = \sum_{i=1}^n\left|A_i\right|\;
-\sum_{1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right|\; 
+ \sum_{1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|\;-\ \ldots\ +\; \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|.

به صورت فشرده‌تر می‌توان اینطور نوشت:


\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| = \sum_{k = 1}^{n} (-1)^{k+1} \left( \sum_{1 \leq i_{1} < \cdots < i_{k} \leq n} \left| A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{k}} \right| \right).

به‌ صورت گفتاری، برای شمردن تعداد اعضای احتماع تعدادی متناهی از مجموعه‌های متناهی، ابتدا مجموع اندازه‌ی مجموعه‌ها را بدست می‌آوریم، سپس تعداد اعضایی که در بیشتر از یک مجموعه ظاهر شده‌اند را از آن کم می‌کنیم، سپس تعداد اعضایی را که در بیش از دو مجموعه ظاهر شده‌اند را اضافه می‌کنیم، سپس تعداد اعضایی را که در بیش از سه مجموعه تکرار شده‌اند را کم می‌کنیم و به همین صورت تا آخر. این روند به صورت طبیعی به پایان ‌می‌رسد، چون هیچ عضوی وجود ندارد که در بیشتر از تعداد کل مجموعه‌ها آمده باشد.

در کاربرد معمول است که این اصل را به صورت فرم مکملش بیان کنند. به این صورت که فرض کنید S مجموعه‌ی مرجع باشد که تمام مجموعه‌های Ai را شامل می‌شود و همچنین فرض کنید که \bar{A_i} بیانگر مکمل Ai باشد. براساس قوانین دومورگان داریم:


\biggl|\bigcap_{i=1}^n \bar{A_i}\biggr| = \biggl|S - \bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| = \left| S \right|\; - \sum_{i=1}^n\left|A_i\right|\;
+\sum_{1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right|\; 
-\;  \ldots\ +\; \left(-1\right)^{n} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|.

به عنوان یک بیان دیگر، فرض کنید Pn، ...، P۲، P۱ لیستی از خصوصیاتی باشد که اعضای مجموعه‌ی S ممکن است داشته یا نداشته باشند، در این صورت اصل شمول و عدم شمول راهی برای محاسبه‌ی تعداد اعضایی که هیچ‌یک از این خصوصیات را ندارند در اختیار قرار می‌دهد. فقط کافی است مجموعه‌ی Ai را مجموعه‌ی اعضایی که خصوصیت Pi را دارند قرار دهید و از فرم مکمل این اصل استفاده کنید.

مثال‌ها[ویرایش]

به عنوان یک مثال ساده از استفاده‌ی این اصل پرسش زیر را درنظر بگیرید:

چه تعداد عدد طبیعی در {۱، ...، ۱۰۰} بر هیچ یک از اعداد ۲، ۳ و ۵ تقسیم‌پذیر نیستند؟

فرض کنید S مجموعه‌ی اعداد طبیعی ۱ تا ۱۰۰ باشد و P۱ این خصوصیت که یک عدد بر ۲ بخش‌پذیر است و P۲ این خصوصیت که یک عدد بر ۳ بخش‌پذیر است و P۳ این خصوصیت که یک عدد بر ۵ بخش‌پذیر است باشد. فرض کنید Ai مجموعه‌ی اعدادی از S است که خصوصیت Pi را دارند. داریم |A_1| = 50، |A_2| = 33 و |A_3| = 20. ۱۶ تا از این اعداد بر ۶ بخشپذیرند، ۱۰تایشان بر ۱۰ و ۶تایشان بر ۱۵. در نهایت فقط ۳تا از اعداد بر ۳۰ بخش‌پذیرند، بنابراین تعداد اعدادی که بر هیچ‌یک از ۲ یا ۳ یا ۵ بخش‌پذیر نیستند برابر است با:

۱۰۰ − (۵۰ + ۳۳ + ۲۰) + (۱۶ + ۱۰ + ۶) − ۳ = ۲۶


یک مثال پیچیده‌تر مورد زیر است:

فرض کنید n کارت داریم، هر کارت شماره‌ای از ۱ تا n دارد فرض کنید کارت با شماره‌ی m در جای درست قرار دارد اگر mامین کارت باشد. به چند طریق می‌توان کارت‌ها را بُر زد به طوری که حداقل یک کارت در جای درستش قرار داشته باشد؟

Am را مجموعه‌ای از جایگشت بگیرید که کارت با شماره‌ی m در جای درستش قرار دارد. در این صورت تعداد جایگشت‌های مورد نظر (W) برابر است با:

W = \biggl|\bigcup_{m=1}^nA_m\biggr|.

با استفاده از اصل شمول و عدم شمول داریم:


W = \sum_{m_1=1}^n \left| A_{m_1} \right|  
  {}- \sum_{1 \le m_1 < m_2 \le n} \left|A_{m_1} \cap A_{m_2} \right|  
  {}+ \sum_{1 \le m_1 < m_2 < m_3 \le n} \left|A_{m_1} \cap A_{m_2} \cap A_{m_3} \right|  
  {}- \cdots  
  {}+ (-1)^{p-1} \sum_{1 \le m_1 < \cdots < m_p \le n} \left|A_{m_1} \cap \cdots \cap A_{m_p} \right|  
  \cdots.

هر مقدار A_{m_1} \cap \cdots \cap A_{m_p} بیانگر مجموعه‌ی جایگشت‌هایی است که در آنها p کارت mp، ...، m۱ در جای درست قرار دارند. توجه کنید که تعداد جایگشت‌های با p مقدار درست تنها به p بستگی دارد نه به مقادیر m. به عنوان مثال، تعداد جایگشت‌هایی که اولین و سومین و ۱۷امین کارت در جای درست قرار دارند برابر با تعداد جایگشت‌هایی است که ۲امین و ۵امین و ۱۳امین کارت در جای درست قرار دارند. تنها این مهم است که از n کارت ۳ کارت انتخاب شده که در جای درست قرار گیرد. چون به تعداد {n \choose p} مورد در هر مجموع وجود دارد، داریم:


W  = {n \choose 1} \left|A_1 \right|  - {n \choose 2} \left|A_1 \cap A_2 \right|  + {n \choose 3} \left|A_1 \cap A_2 \cap A_3 \right|  - \cdots   + (-1)^{p-1} {n \choose p} \left|A_1 \cap \cdots \cap A_p \right|  \cdots.

\left|A_1 \cap \cdots \cap A_p \right| تعداد جایگشت‌هایی است که p عنصر دارند که در جای درست قرار گرفته‌اند که برابر است با  (n-p)!. بنابراین در نهایت داریم:


W = {n \choose 1} (n-1)!  - {n \choose 2} (n-2)!  + {n \choose 3} (n-3)!  - \cdots  + (-1)^{p-1} {n \choose p} (n-p)!   \cdots 
W = \sum_{p=1}^n (-1)^{p-1} {n \choose p} (n-p)!.

با توجه به اینکه {n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} بدست می‌آید:


W  = \sum_{p=1}^n (-1)^{p-1}\, \frac{n!}{p!}.

یک جایگشت که در آن هیچ عنصری سر جایش نیست یک پریش نامیده می‌شود. وقتی n! تعداد کل جایگشت‌هاست، احتمال (Q) این که یک جایگشت تصادفی یک پریش باشد برابر است با:

Q = 1 - \frac{W}{n!} = \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^p}{p!},

یک مورد خاص[ویرایش]

این وضعیت که در مورد مثال پریش اتقاق می‌افتد به اندازه‌ای تکرار می‌شود که شایسته‌ی توجه ویژه باشد. منظور زمانی است که اندازه‌ی مجموعه‌ی اشتراکی ظاهر شده در فرمول اصل شمول و عدم شمول فقط به تعداد مجموعه‌ها بستگی دارد نه به خود مجموعه‌ها. به بیانی رسمی، زمانی که اشتراک

A_J:=\bigcap_{j\in J} A_j

اندازه‌ای برابر با |A_J|=\alpha_k داشته باشد، برای هر زیرمجموعه‌ی kعضوی از اعداد ۱ تا n. داریم:

\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr|  =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \alpha_k.

یا در فرم مکمل زمانی که مجموعه‌ی مرجع S دارای اندازه‌ی α0 است،

\biggl|S - \bigcup_{i=1}^n A_i\biggr|  =\sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom nk \alpha_k.

یک تعمیم[ویرایش]

یک خانواده از زیرمحموعه‌های An، ...، A2، A۱ از مجموعه‌ی مرجع S را در نظر بگیرید. اصل شمول و عدم شمول تعداد عناصری از S را که در هیچ یک از این زیرمجموعه‌ها نیستند را محاسبه می‌کند. یک تعمیم از این مفهوم این است که تعداد عناصری را که در دقیقا m زیرمجموعه‌ی مشخص آمده است را بشماریم.

فرض کنید:

N = [n] = {1,2,...,n}

اگر تعریف کنیم A_{\emptyset} = S، اصل شمول و عدم شمول می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:

 \sum_{J \subseteq [n]} (-1)^{|J|} |A_J|.

اگر I یک زیرمجموعه‌ی خاص از N باشد، تعداد عناصری که به Ai به ازای تمام i های عضو I و نه بغیر از آن‌‌ها تعلق دارند برابر است با:

 \sum_{I \subseteq J} (-1)^{|J| - |I|} |A_J|.

با تعریف مجموعه‌ی

B_k = A_{I \cup \{ k \}} برای هر k در N \setminus I.

ما به دنبال تعداد عناصری می‌گردیم که در هیچ یک از Bkها نیستند، که برابر است با: (با B_{\emptyset} = A_I)

\sum_{K \subseteq N \setminus I} (-1)^{|K|}|B_K|.

تناظر KJ = IK بین زیرمجموعه‌های N که شامل I هستند دوسویی است و اگر J و K متناظر باشند سپس BK = AJ ، که نشان می‌دهد نتیجه درست است.

در احتمالات[ویرایش]

در احتمالات، برای رویدادهای An، ...، A۱ در یک فضای احتمالی \scriptstyle(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})، برای n=۲ به شکل زیر در می‌آید:

\mathbb{P}(A_1\cup A_2)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_2),

برای n=۳:


\mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup A_3)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+\mathbb{P}(A_3)
\qquad{}-\mathbb{P}(A_1\cap A_2)-\mathbb{P}(A_1\cap A_3)-\mathbb{P}(A_2\cap A_3)
\qquad{}+\mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap A_3)

در حالت کلی:


\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr) {} =\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)
-\sum_{i<j}\mathbb{P}(A_i\cap A_j) 
\qquad+\sum_{i<j<k}\mathbb{P}(A_i\cap A_j\cap A_k)-\ \cdots\ +(-1)^{n-1}\, \mathbb{P}\biggl(\bigcap_{i=1}^n A_i\biggr),

که به در فرم بسته می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:

\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr)  =\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1}\sum_{\scriptstyle I\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|I|=k} \mathbb{P}(A_I)\right),

که آخرین سیگما روی تمام زیرمجموعه‌های I از اندیس ۱ تا n که دقیقا k عضو دارند حرکت می‌کند و

A_I:=\bigcap_{i\in I} A_i

نمایانگر اشتراک تمام Aiهاست که اندیسشان در I است.

براساس نامساوی بول، مجموع اولین جملات در فرمول یک حد بالا و حد پایین برای سمت چپ معادله اند. این می‌تواند در مواردی استفاده شود که فرمول کامل بسیار سنگین باشد.


حالت خاص[ویرایش]

اگر در نسخه‌ی احتمالی اصل شمول و عدم شمول احتمال اشتراک AI فقط به اندازه‌ی I بستگی داشته‌باشد، داریم:

a_k=\mathbb{P}(A_I)\quad\text{for every}\quad I\subset\{1,\ldots,n\}\quad\text{with}\quad |I|=k,

فرمول بالایی ساده می‌شود به:

\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr)  =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk a_k


صورت‌های دیگر[ویرایش]

این اصل گاهی اوقات به این صورت بیان می‌شود که می‌گوید اگر

g(A)=\sum_{S\subseteq A}f(S)

آنگاه

f(A)=\sum_{S\subseteq A}(-1)^{\left|A\right|-\left|S\right|}g(S)\qquad(**)

می‌توان نشان داد که حالت ترکیبیاتی و احتمالاتی اصل شمول و عدم شمول نمونه‌هایی از (**) اند.

کاربردها[ویرایش]

این اصل کاربردهای زیادی دارد تنها چند نمونه از آن‌ها در اینجا آورده شده است.

شمردن تعداد پریش‌ها[ویرایش]

نوشتار اصلی: پریش

یک کاربرد معروف از این اصل در مسائل ترکیبیاتی شمردن تمام پریش‌های یک مجموعه‌ی متناهی است. یک پریش از A یک تناظر یک به یک از خودش به خودش است به طوری که نقطه‌ی ثابت نداشته باشد. با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان نشان داد که اگر اندازه‌ی A برابر با n باشد، تعداد پریش‌های آن برابر است با \lfloor n!/e\rfloor

شمردن اندازه‌ی اشتراک[ویرایش]

از این اصل با ترکیب با قوانین دمورگان می‌توان برای شکردن اندازه‌ی اشتراک چند مجموعه نیز استفاده کرد. فرض کنید \scriptstyle\overline{A}_k مکمل مجموعه‌ی Ak نسبت به مجموعه‌ی مرجع A باشد به طوری که برای هر k داشته باشیم \scriptstyle A_k\, \subseteq\, A در اینصورت داریم:


\bigcap_{i=1}^n A_i = \overline{\bigcup_{i=1}^n \overline{A}_i}

رنگ‌آمیزی گراف[ویرایش]

این اصل پایه‌ی چند الگریتم افراز گراف از قبیل رنگ‌آمیزی گراف را تشکیل می‌دهد.

تطابق‌های گراف دوبخشی[ویرایش]

تعداد تطابقهای یک گراف دوبخشی با استفاده از این اصل قابل شمارش است.

تعداد توابع پوشا[ویرایش]

با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان دریافت که تعداد توابع پوشا از A به B برابر است با:

\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j (n-j)^k.

که |A|=k و |B|=n

جایگشت‌ها با مکان‌های ممنوع[ویرایش]

جایگشت‌های اعداد ۱ تا n که هر عدد در برخی از مکان‌های مشخص نمی‌تواند قرار بگیرد، جایگشت‌ها با مکان‌های ممنوع گفته می‌شوند. تعداد این جایگشت‌ها را می‌توان با استفاده از اصل شمول و عدم شمول به دست آورد.

اعداد استرلینگ نوع دوم[ویرایش]

اعداد استرلینگ نوع دوم S(n,k) تعداد افرازهای یک مجموعه‌ی nعضوی را به k زیرمجموعه‌ی غیرتهی می‌شمارد. یک فرمول صریح که با استفاده از اصل شمول و عدم شمول برای آن بدست می‌آید فرمول زیر است:

S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{t=0}^{k} (-1)^t \binom{k}{t} (k-t)^n.

چندجمله‌ای رخ[ویرایش]

چندجمله‌ای رخ یک تابع مولد است که تعداد راه‌هایی را که می‌توان رخ‌هایی را در صفحه شطرنچ قرار داد بیان می‌کند. با استفاده از این اصل می‌توان جمله‌های این چندجمله‌ای را جساب کرد.

تابع فی اویلر[ویرایش]

نوشتار اصلی: تابع فی اویلر

تابع فی اویلر برای یک عدد مانند n تعداد اعداد مثبت اول نسبت به آن که از آن بزرگتر نیستند را بدست می‌دهد. با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان این تابع را محاسبه کرد:

n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_r^{a_r}.

ثابت می‌شود که:

\phi(n) = n - \sum_{i=1}^r \frac{n}{p_i} + \sum_{1 \leq i < j \leq r} \frac{n}{p_i p_j} - \cdots = n \prod_{i=1}^r \left (1 - \frac{1}{p_i} \right ).

اصل شمول و عدم شمول رقیق[ویرایش]

در خیلی از مواردی که این اصل قادر است که فرمولی دقیق ارائه کند، آن فرمول به دلیل تعداد زیاد جملات کارایی ندارد. در این موارد یافتن یک کران بالا از مقدار دقیق عبارت می‌تواند مطلوب‌تر باشد.

فرض کنید An، ...، A۱ مجموعه‌هایی دلخواه و pn، ...، p۱ در بازه‌ی بسته‌ی [۰,۱] باشند. برای هر k در \{0, \dots, n\} تابع مشخصه در تساوی زیر صدق می‌کند:

1_{A_1\cup\cdots\cup A_n}\ge\sum_{j=1}^k (-1)^{j-1}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_j\le n} p_{i_1}\dots p_{i_j}\,1_{A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_j}}.

اثبات[ویرایش]

فرض کنید A حاصل اشتراک \scriptstyle \cup_{i=1}^n A_i باشد. برای اثبات اصل شمول و عدم شمول در حالت کلی ابتدا باید صحت اتحاد زیر را بررسی کنیم:

1_A  =\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\sum_{\scriptstyle I\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|I|=k} 1_{A_I}\qquad(*)

برای توابع مشخصه‌ای که

A_I = \bigcap_{i\in I} A_i.

برای این کار حداقل دو راه زیر وجود دارد:

روش اول: کافیست تا این کار را برای هر x عضو A انجام دهیم. فرض کنید x به دقیقا m مجموعه تعلق دارد که ۱ ≤ nm ، برای سادگی فرض کنید آن مجموعه‌ها Am، ...، A۱ باشند. پس اتحاد برای x به صورت زیر تقلیل می‌یابد:

1 =\sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\sum_{\scriptstyle I\subset\{1,\ldots,m\}\atop\scriptstyle|I|=k} 1.

تعداد زیرمجموعه‌ها با اندازه‌ی k از یک مجموعه‌ی mعضوی برابر با \textstyle\binom mk. بنابراین \textstyle1=\binom m0. داریم:

\binom m0 =\sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\binom mk.

با در نظر گرفتن تمام جملات سمت چپ معادله، به بسط (1-1)^m می‌رسیم بنابراین (*) برای x برقرار است.


روش دوم: تابع زیر همیشه صفر است:

(1_A-1_{A_1})(1_A-1_{A_2})\cdots(1_A-1_{A_n})\,=\,0,

چون: اگر x در A نباشد، تمام عوامل برابر با ۰ - ۰ = ۰ خواهند بود و در غیر این صورت، اگر x به مجموعه‌ای مثل Am تعلق داشته باشد، عامل متناظر برابر با ۱ - ۱ = ۰ خواهد بود. با بسط عبارت سمت چپ (*) حاصل می‌شود.

استفاده از (*): برای اثبات اصل شمول و عدم شمول، تساوی (*) را برای تمام xهای متعلق به A جمع بزنید.

اثباتی دیگر[ویرایش]

عضوی از اجتماع تمام مجموعه‌ها انتخاب کنید و فرض کنید A_1, A_2, \dots, A_t مجموعه‌های شامل آن عضو باشند (دقت کنید کنید که t > 0). نیاز داریم که نشان دهیم این عضو دقیقا یک بار در سمت راست اتحاد شمرده شده است. براساس قضیه‌ی دوجمله‌ای داریم:

 (1-1)^t= \binom{t}{0} - \binom{t}{1} + \binom{t}{2} - \cdots + (-1)^{t}\binom{t}{t}.

با استفاده از \binom{t}{0} = 1 و مرتب کردن جملات، داریم:


1 = \binom{t}{1} - \binom{t}{2} + \cdots + (-1)^{t+1}\binom{t}{t}
  = |\{A_i \mid 1 \leq i \leq t\}| - |\{A_i \cap A_j \mid 1 \leq i < j \leq t\}| + \cdots + (-1)^{t+1}|\{A_1 \cap A_2 \cap \cdots  \cap A_t\}|,

بنابراین عضو انتخاب شده دقیقا یک بار در سمت راست معادله شمرده شده است.

منابع[ویرایش]

ویکی‌پدیای انگلیسی Inclusion-exclusion principle

برای اطلاعات بیشتر[ویرایش]

http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=اصل+شمول+و+طرد&SSOReturnPage=Check&Rand=0