اصل اکسترمال

ریاضی‌دان ورزیده مجهز به یک سری اصول و فنون با دامنه کاربرد وسیع ساده می‌باشد که می‌تواند ‏از آنها در حالت‌های مختلف استفاده نماید. این اصول و فنون وابسته به موضوعی ویژه نبوده و در ‏کلیه شاخه‌های ریاضی قابلیت استفاده را دارند. ریاضی دان به این اصول فکر نمی‌کند بلکه بطور ‏ناخودآگاه از آن مطلع می‌باشد. یکی از این اصول اصل ناوردایی است. و اما اصل اکسترمال زمانی که بحث دربارهٔ تبدیلات است استفاده می‌شود. در این مقاله‏ به بحث دربارهٔ اصل ‏اکسترمال خواهیم پرداخت که دارای کاربردهای پردامنه‌ای می‌باشد. به این اصل روش متغیر هم گفته می‌شود. با این ‏روش می‌توان به اثبات‌های بسیار آسان دست یافت.‏

ابتدا سعی می‌کنیم وجود یک حالت را به اثبات برسانیم. اصل اکسترمم به ما می‌گوید ‏که با انتخاب این حالت سعی کنید برخی حالت‌های ماکزیمم و مینیمم آن را بررسی ‏کنید. حالت حاصل نشان دهنده تقریبی وضعیت خواسته شده‌است هر چند کاملاً با آن ‏منطبق نمی‌نماید. با کمی تغییر روی توابع به حالت اصلی می‌توان رسید.

استفاده از اصل اکسترمال [ویرایش]

اگر ‏راه‌های مختلفی برای بهینه‌سازی وجود داشته باشد انتخاب بکی از آنها بسته به نظر ما ‏می‌باشد. اصل اکسترمال بسیار خلاق است و می‌تواند الگوریتم روش ساختن آن ‏حالت را به ما نشان دهد.‏ در اینجا برای تفهیم بیشتر موضوع مثالی می‌آوریم. اما در ابتدا به ۳ اصل معروف ‏می پردازیم.

الف : هر مجموعه کراندار نامشخصی مثل ‏A‏ از اعداد صحیح یا حقیقی دارای یک ‏عنصر می‌نیمال ‏ $A$ ‏ و یک عنصر ماکسیمال ‏ $A$ ‏ دارد که ضرورتاً یکتا ‏نمی باشند.

‏

ب :هر زیر مجموعه غیر تهی از اعداد صحیح مثبت دارای کوچکترین عضو است. ‏این را اصل خوش ترتیبی می‌نامند و هم ارز با اصل استقرای ریاضی است.‏

ج : مجموعه بی‌کران $A$ ‏ از اعداد حقیقی ضرورتاً دارا عضو ماکسیمال یا مینیمال ‏نیست. اگر $A$ ‏‏ از بالا کراندار باشد، آنگاه دارای کوچکترین کران بالاست که آن را ‏سوپریموم $A$ ‏‏ می‌نامیم . اگر $A$ ‏‏ از پایین کراندار باشد دارای بزرگترین کران پایین ‏است و آن را اینفیموم $A$ ‏می‌نامیم.‏

اگر $SUPA \in A$ باشد آنگاه $SUP(A) = max A$ و اگر $inf A\in A$ آنگاه $inf(A) = min A$ .

صفحه [ویرایش]

مثال ۱ : ‏n‏ خط حداکثر یک صفحه را به چند بخش تقسیم می‌کند؟

حل : یک نفر مبتدی برای حل این مسئله از اینجا شروع می‌کند که $p_{n+1}=g(p_{n})$ . ‏در حقیقت با اضافه کردن یک خط به ‏n‏ خط به سادگی به دست می‌آید که ‏ $p_{n+1} = p_{n} + n + 1$ .

در واقع در این استدلال هیچ اشکالی نیست. چون رابطه بازگشتی پایه و اساس این شوره تفکر است، ‏یک مسئله حل کن تجره گرا ممکن است مسئله را در ذهن خود حل نماید. ما به شماره کردن ‏مسئله می‌پردازیم. یکی از اصول شمارش اساسی تناظر یک به یک برقرار کردن است.‏

اولین سوال این است آیا می‌توان $p_{n}$ ‏ بخش از صفحه را بصورت یک به یک به مجموعه مربوط ‏ساخت که به آسانی بتوان آن را شمرد؟

ترکیب $\left(\begin{array}{cccccc} n \\ 2 \end{array}\right)$ نقطه برخورد ‏n‏ خط را به آسانی می‌توان ‏یافت. اما پایین برخورد دقیقاً در یک بخش وجود دارد (اصل اکسترمال) بنابراین $\left(\begin{array}{cccccc} n \\ 2 \end{array}\right)$ بخش را با یک نقطه اشتراک داریم، بخش‌ها بدون نقاط اشتراک در کران پایین ‏واقع نمی‌شود، و بک خط افقی را به ‏n‏+۱ قسمت تقسیم می‌کند .‏ این بخش‌ها را می‌توان بطور منحصر بفرد به این نقطه خط‌ها نسبت داد. بنابراین $n+1$ یا $\left(\begin{array}{cccccc} n \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cccccc} n \\ 0 \end{array}\right)$ قسمت بدون یک نقطه اشتراک وجود دارد . بنابراین ‏در مجموع داریم:‏

$p_{n} = \left(\begin{array}{cccccc} n \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cccccc} n \\ 1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cccccc} n \\ 0 \end{array}\right)$

مسئله سیلوستر [ویرایش]

مثال ۲ : ‏ این مسئله به وسیله سیلوستر در سال ۱۸۹۳ طرح شد و در سال ‏‏۱۹۳۳ توسط گالی به روش پیچیده‌ای حل گردید و سپس در سال ۱۹۴۸ درچند خط با ‏اصل اکسترمال توسط کلی حل گردیده‌است.‏ مجموعه محدود شامل نقاطی از صفحه‌است که هر خط گذرنده ازدو نقطه از نقطه ‏سومی می‌گذرد. ثابت کنید تمام نقاط روی یک خط واقع می‌باشند.‏

حل : فرض کنیم این نقاط هم خط نیستند. زوج (‏P,L‏ ‏‎(‎‏ عبارت است از خطی مانند‏ $L$ و نقطه‌ای مانند $P$ ‏ غیر واقع بر ‏ $L$ ‏. حال نقطه‌ای را در نطر می‌گیریم که فاصله اش ‏از خط می‌نیمم باشد. فرض کنیم $f$ ‏ پای عمودی است که از نقطه $P$ بر خط‏‏ $L$ ‏ وارد ‏شده‌است. بنابراین بنا به فرض حداقل سه نقطه ‏ $a,b,c$ ‏ بر خط قرار دارد. فرض ‏کنیم دو نقطه ‏ $a$ ‏ و‏ $b$ ‏ در یک طرف ‏ $f$ ‏ واقع باشند.‏ و فرض کنیم ‏b‏ به‏f‎‏ تا‏a‎‏ نزدیکتر باشد آنگاه فاصله ‏b‏ تا‏‎‏ ‏ap‏ کمتر از ‏d‏ می‌باشد و ‏این تناقض است . ‏

مثال ۳ : ‏ در کشور اسکانیا هر شهری به شهر دیگر فقط بوسیله یک جاده یک طرفه وصل شده ‏است. ثابت کنید شهری وجود دارد که از هر شهری به آن مستقیم و یا حداکثر به ‏واسطه یک شهر دیگر می‌توان رسید. ‏

حل :‏ فرض کنیم $m$ حداکثر جاده‌های منتهی به یک شهر باشد. و فرض کنیم ‏ $M$ ‏ شهری ‏باشد که حداکثر جاده‌ها به آن وصل شده باشد. فرض کنیم $D$ ‏ مجموعه $m$ شهری ‏باشد که به $M$ متصل هستند و فرض کنیم ‏ $R$ ‏ مجموعه تمام شهرهای نامتصل به ‏ $M$ ‏ ‏و موجود در $D$ ‏ باشد. ‏

اگر ‏R‏ تهی باشد حکم ثابت است. اگر ‏ $X \in R$ ‏ باشد شهری مانند $E \in D$ وجود دارد که ‏از طریق آن می‌توان به ‏M‏ رسید یعنی X → M → E. اگر چنین ‏ $E$ ‏ وجود نداشته باشد، پس به شهر $X$ ‏ می‌توان از طریق شهرهای‏‎ $D$ ‏ ‏و از $M$ رسید. بنابراین $m+1$ ‏ جاده به $X$ منتهی می‌شود که یک تناقض نسبت به ‏فرض در مورد $M$ است. بنابراین به هر شهر به طور حداکثر به حالت حکم مسئله ‏می‌توان رسید.‏