اسپیرال لگاریتمی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
اسپیرال لگاریتمی (چرخش ۱۰°)
نیم‌تنه پوسته ناتیلوس (آبزی) که نمایش دهنده شکل حدودی اسپیرال لگاریتمی است.
کلم رومی که به صورت اسپیرال لگاریتمی رشد می‌یابد
برشی از مجموعه مندلبرو که از اسپیرال لگاریتمی تبعیت می‌کند
یک low pressure area در ایسلند نشان‌دهنده شکل اسپیرال لگاریتمی است
نشان spiral galaxies که معمولا شبیه به اسپیرال لگاریتمی است کهکشان گرداب
اسپیرال چند وجهی

اسپیرال لگاریتمی (به انگلیسی: logarithmic spiral) یا مارپیچ لگاریتمی یا اسپیرال متساوی الزاویه یا اسپیرال رشدیابنده یک خم مارپیچ ماننده خودهمانند است که معمولا در طبیعت دیده می‌شود.

تاریخچه[ویرایش]

اسپیرال لگاریتمی نسختین بار توسط رنه دکارت توصیف شد و بعدها توسط یاکوب برنولی به صورت گسترده مورد پژوهش قرار گرفت که وی آنها را مارپیچ لاله عباسی Spira mirabilis، "the marvelous spiral" نامید.

خصوصیات[ویرایش]

اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.[۱]

توصیف[ویرایش]

در دستگاه مختصات قطبی (r, \theta) منحنی لگاریتم را می توان نوشت [۲]

r = ae^{b\theta}\,

یا

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

با عدد e که مبنای طبیعی لگاریتم است و a و b همیشه به صورت مثبت مطلق است.

در حالت پارامتریک منحنی به شرح زیر است

x(t) = r(t) \cos(t) = ae^{bt} \cos(t)\,
y(t) = r(t) \sin(t) = ae^{bt} \sin(t)\,

با عدد حقیقی a و b.

خصوصیات اسپیرال این است که φ میان

مماس و radial line در نقطه (r, \theta) ممتد است خصوصیات را می‌توان در اشکال مختلف هندسی بیان کرد

\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arctan \frac{1}{b} = \phi.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • ویکی‌پدیا انگلیسی