اسپلاین

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

اسپلاین (spline) در ریاضیات یک تابع هموار چندضابطه‌ای-چندجمله‌ای است.

در مسائل درون‌یابی، معمولاً منظور از درون‌یابی اسپلاین، پیدا کردن چند جمله‌ای درون یابی است، چرا که به همان نتیجه می‌انجامد، حتی در مواقعی که از چند جمله‌ای‌های درجه پایین استفاده می‌شود.
چند جمله‌ای‌های پارا متری از درجات بالا یک ضعف دارند:
برای مثال در شکل زیر پرش ارتفاع در حوالی مرکز داده ها باعث تغییر زیادی روی چند جمله ای درون یابی شده در نزدیکی انتهای منحنی دارد.

چند جمله ای از در جه ی بالا

در عوض در شکل بعدی از منحنی اسپلاین درجه سوم(cubic spline) در همان نقاط مثال قبل استفاده شده است.مشاهده می کنید که منحنی چقدر دقیق از نقاط ورودی می گذرد. دقت داشته باشید که همواره منحنی ها در محل اتصال شکلی یکنواخت دارند.

یک منحنی اسپلاین

منحنی اسپیلاین با استفاده از مشتقات یک منحنی چند جمله ای درجه سوم میان هر دو نقطه ورودی ایجاد می شود.به عبارتی دیگر، منحنی درجه سوم و تابع چندضابطه‌ای است که از چند تابع چند ضابطه ای که به یکدیگر چسبیده اند تشکیل شده است.این توابع چند ضابطه ای آن چنان در محل اتصال با یکدیگر مطابقت دارند که تقریباً محل اتصال مشخص نیست. در حقیقت ،اگر تمام تابع با یک تابع p(t)توصیف شود، p(t)آن قدر یکنواخت و هموار خواهد بود که دارای مشتق دوم در تمام نقاط و مشتق دوم پیوسته خواهد بود.

اسپلاین درجه سوم(cubic spline)[ویرایش]

اسپلاین درجه سوم یک منحنی چند ضابطه ای درجه سوم با مشتق دوم پیوسته است.

واژه شناسی اسپلاین[ویرایش]

کلمه ی اسپلاین در حقیقت باز می گردد به نوار باریکی از جنس چوب یا فلز .در گذشته منحنی ها برای طراحی کشتی ها و هواپیماها با قرار دادن دقیق منحنی هایی از نوار های باریک چوب یا فلز در بدنه ی آن ها به گونه ای که ضمن گذشتن از نقاط دلخواه انعطاف پذیر نیز باشند .به دلایل فیزیکی، این چنین منحنی هایی تقریباً چند ضابطه ای هایی درجه سوم با مشتق دوم پیوسته اند،در صورتی که به درستی پارامتری شوند.

ممکن است که از ریاضیات بیاد آورید انحنای هر منحنی در هر نقطه به مشتق دوم منحنی در آن نقطه وابسته است. در نقاط انتهایی، یک نوار واقعی از چوب یا فلز خم نمی‌شود، و مشتق دوم این منحنی صفر است.

منحنی اسپلاین درجه سوم ریلکس(relaxed cubic spline)[ویرایش]

منحنی اسپلاین درجه سوم را ریلکس می نامند ،اگر مشتق دوم در هر انتها صفر شود ما می بایستی تمرکز خود را روی منحنی های اسپلاین درجه سوم ریلکس قرار دهیم.همانگونه که خواهید دید،از این منحنی ها می توان برای طراحی های کنترل شده(b-spline) یا برای درون یابی استفاده کرد. برای تشریح ضابطه های از درجه ی سوم به صورت ساده و قرادادی،می بایستی از منحنی های بی زی ای(bَezier) استفاده کنیم.

منحنی های بی زی ای با مشتق دوم صفر در یک انتها[ویرایش]

به منظور ارضای شرط ریلکس بودن انتهای منحنی،می بایستی بتوانیم تشخیص دهیم که چه زمانی یک منحنی بی زی ای دارای مشتق دوم صفر در یک انتها می باشد.برای یک منحنی بی زی ای درجه سوم با تا بعP(t) و نقاط کنترلی{{P}_{0}}-{{P}_{1}}-{{P}_{2}}-{{P}_{3}}داریم:

{P}''(0)=6({{P}_{0}}-2{{P}_{1}}+{{P}_{2}})

این معادله زمانی صفر می شود که:

2{{P}_{1}}={{P}_{0}}+{{P}_{2}}

و یا متعاقباً:

شکل 3
{{P}_{1}}=\frac{1}{2}{{P}_{0}}+\frac{1}{2}{{P}_{2}}

رابطه ای مشابه در مورد{P}''(1)=0 برقرار است.حتی ساده تر: {P}''(0)=0 اگر و تنها اگر Peنقطه ی میانی المان\overline{{{P}_{0}}{{P}_{2}}};{P}''(1)=0 اگر و تنها اگر {{P}_{2}}نقطه ی میانی المان\overline{{{P}_{1}}{{P}_{3}}} باشد.نمونه هایی در شکل 3 نشان داده شده است.

چسباندن دو منحنی بی زی ای[ویرایش]

1-مطابقت دادن نقاط انتهایی

شکل 4

با دو منحنی که می توانند به همدیگر بچسبند ولی با یکدیگر به خوبی مطابقت ندارند شروع می کنیم. منحنی اول با نقاط کنترلی{{\text{P}}_{0}}\text{ }{{\text{P}}_{1}}\text{ }{{\text{P}}_{2}}\text{ }{{\text{P}}_{3}} و منحنی دوم دارای نقاط کنترلی{{Q}_{0}}\text{ }{{\text{Q}}_{1}}\text{ }{{\text{Q}}_{2}}\text{ }{{\text{Q}}_{3}}.همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است. فرض کنید که{{\text{Q}}_{0}}={{\text{P}}_{3}}،برای قرارداد این نقطه ی اتصال را s می نامیم،{{\text{Q}}_{0}}={{\text{P}}_{3}}=sنتیجه در شکل 4 نمایش داده شده است. منحنی دارای یک گوشه است،زیرا در s منحنی بی زی ای اول دارای مشتق اول\text{3(S-}{{\text{P}}_{2}}\text{)} است و منحنی دوم\text{3(}{{\text{Q}}_{1}}\text{-S)}، ولی بردار های S-\text{ }{{\text{P}}_{2}} و {{\text{Q}}_{1}}\text{-S} حتی دارای یک جهت نیز نیستند.

2-مطابقت دادن اندازه ها و مشتقات اول

یک اتصال بهتر زمانی بدست می آید که s نقطه میانی خط P2Q1 باشد، به طوری که مشتق اول در محل اتصال مطابقت داشته باشد.شکل5 نمونه ای است که دارای این شرایط می باشد. این نمونه هموارتر به نظر می آید.با این وجود، هنوز آرمانی نمی‌باشد.فرض کنید سوار بر قطاری هستید که روی این منحنی حرکت می کند. در بخش اول منحی بی زی ای به سمت دیواری سمت چپ فشار داده می شوید و در بخش دیگر به سمت مخالف یعنی دیوار سمت راست فشرده می شوید.در نقطه ی اتصال شما از سمتی به سمت دیگر قطار کشیده می شوید. برای اتصالی هموارتر ، انحنا می بایستی پیوسته باشد. چون که انحنا را می توان در قالب مشتقات اول و دوم بیان کرد، پیوستگی انحنا را می توان با مطابقت دادن مشتقات اول و دوم در نقطه ی اتصال بدست آورد. 3-مطابقت دادن اندازه،مشتق اول و دوم در s، با قرار دادن t=1 , t=0 …مشتق دوم منحنی بی زی ای به صورت 6(p1-2p2+s) و 6(s-2q1+q2) می شود.بنابر این داریم: 6(p1-2p2+s)=6(s-2q1+q2) ویا متعاقباً p1-p2=q2-2q1. راهی جالب برای درون یابی از این معادله. دو طرف را در منفی ضرب می کنیم تا داشته باشیم: 2p2-p1=2q1-q2. علت انجام این کار این است که هر دو طرف دارای ضرایبی با اختلاف یک هستند و بنابراین نقاطی را ارائه می دهند که از دستگاه مختصات مستقل اند.طرف سمت چپ به نقطهی A+ می انجامد و از p1 و p2 می گذرد.در حقیقت

A+=2p2-p1=p2+1.(p2-p1).همانگونه که در شکل 6 نشان داده شده است. A+  را راس زائیه ی راست از چند ضلعی کنترلی اول می نامیم. به صورتی مشابه، بخش سمت راست  معادله را راس زاویه ای سمت چپ نامیده و برابر است با 

A-=2q1-q2 از منحنی بی زی ای دوم،مطابق شکل. همانگونه که می بینید،در این مثال دو راس زاویه ای یکسان نیستند، بنابراین معادله ارضا نمی‌شود و مشتقات دوم از منحنی های بی زی ای با یکدیگر مطابق نخواهند بود.شکل 7 مثالی را نشان می دهد که این مطابقت ایجاد شده است،در حالی که هر دو راس زاویه ای در نقطه ی یکسان A قرار دارند. قسمت مذکور در شکل 7 به مشابه یک کلمه ی A می باشد که به آن کابین با قاب A گویند. تعریف: قاب-Aشکلی است با نقاط نشان داده شده،به گونه ای که s نضطه ی میانی p2p1، و p2 نقطه ی میانیp1A،وq1 نقطه ی میانی Q2A.مثالی در شکل 8 آورده شده است. بنابراین : اگر دو منحنی بی زی ای در نقطه ی s متصل شوند،هر دو مشتق اول و دوم در s مطابقت خواهند داشت اگر و تنها اگر چند ضلعی کنترلی آنها قاب_A را تشکیل دهند . نکته: مطابقت دادن مشتقات سوم اگر چه اطمینان بخش می باشد ،ولی مفید نیست، همانگونه که هر دو منحنی را مجبور می کند که بخشی از یک منحنی درجه سوم باشند.بنابر این انعطاف پذیری بدست آمده ناشی از چسبانده دو منحنی از بین می رود.

منابع[ویرایش]

http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/x_lagrange.pdf%7B%7Bسخ}} http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/bb_bezier.pdf%7B%7Bسخ}} http://www.math.ucla.edu/~baker/149.1.02w/handouts/dd_splines.pdf%7B%7Bسخ}}