اثر مگنوس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
اثر مگنوس

اثر ماگنوس (به انگلیسی: Magnus effect) اثری است که عموماً در یک توپ (استوانه) در حال چرخش دیده می‌شود که این توپ چرخان را از مسیر معمول خود به صورت حرکت منحنی وار منحرف می‌کند. این اثر برای بیشتر توپ‌های بازی‌های مختلف بسیار مهم است. اثر ماگنوس بر پرتابهٔ چرخان تاثیر می‌گذارد و به همین علت دارای برخی کاربردهای مهندسی است، برای مثال در طراحی کشتی‌های چرخان و هواپیماهای چرخان از این اثر استفاده می‌شود. این نام به افتخار هاینریش گوستاو ماگنوس، فیزیکدان آلمانی کسی که این اثر را بررسی کرد گذاشته شده است.

فیزیک مسئله[ویرایش]

یک شهود معتبر برای فهمیدن این پدیده وجود دارد. ابتدا توسط این واقعیت شروع می‌کنیم که با استفاده از قانون پایستگی اندازه حرکت، نیروی منحرف کننده کمتر یا بیشتر از عکس العملی که از طرف جسم بر جریان هوا وارد می‌شود نیست. جسم جریان هوا را به سمت پایین می‌کشاند و بر عکس. در حقیقت راه‌های بسیاری برای اینکه چرخیدن باعث انحراف شود وجود دارد اما یکی از بهترین روش‌ها برای درک کردن اینکه واقعاً در یک نمونهٔ واقعی جه اتفاقی می‌افتد، آزمایش تونل باد است. لایمن بریگز[۱] یک تونل باد برای مطالعهٔ اثر مگنوس بر روی توپ بیسبال ساخت و عکس‌های بسیار جالبی توسط دیگران از این اثر گرفته شد.[۱][۲][۳][۴]این تحقیقات نشان داد که یک رد آشفته در پشت جسم چرخان وجود دارد. انتظار می‌رود که این رد باعث کشش آیرودینامیکی شود. به هر حال یک انحراف زاویه‌ای چشمگیری در رد آشفته و یک انحراف در جهت چرخش وجود دارد. این فرایند که یک رد آشفته (در شکل می‌توان پیکان‌های دایره‌ای را در قسمت عقب توپ دید که اینها همان رد آشفته یا متلاطم هستند) ایجاد می‌کند، پیجیده است اما در آیرودینامیک به خوبی مورد بررسی قرارگرفته است. هنگامی که یک جسم در حال چرخیدن است سعی دارد تا هوای مجاور خود را که در تماس مستقیم با سطح آن می‌باشد، همراه خود بچرخاند و این هوا به نوبهٔ خود سعی می‌کند بر روی هوای مجاور اثر بگذارد. با این شیوه جسم دارای یک لایهٔ هوا در مرز و محدودهٔ خود می‌شود که آن را با خود می‌چرخاند. در شکل جهت حرکت جسم چرخان از راست به چپ است و توپ در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد. این بسیار مهم است که در چه جهتی توپ به چرخش در می‌آید زیرا این جهت چرخش است که باعث این می‌شود که به کدم سمت منحرف شود. هنگامی که جسم چرخان در حال حرکت و چرخیدن است و یک لایه جریان هواز چپ به راست با سرعت مشخصی با سطح جسم در تماس است. همانطور که پیداست در قسمت بالای جسم سرعت جسم و سرعت هوا در یک جهت هستند اما در پایین جسم سرعت هوا و سرعت جسم در خلاف جهت هم هستند. همانطور که از اصل برنولی می‌دانیم در نقاطی که سرعت زیاد باشد فشار کم است و در نقاطی که سرعت کم باشد فشار زیاد است پس در اینجا در نقطه بالا فشار کم و در نقطهٔ پایین جسم چرخان فشار زیاد است در نتیجه این اختلاف فشار باعث ایجاد نیرویی از سمت نقطهٔ پرفشار به نقطه کم فشار می‌شود. و نیروی مگنوس را ایجاد می‌کند که باعثِ انحراف مسیر جسم چرخان می‌شود.

معادلات حاکم بر مسئله[ویرایش]

مختصات سه بعدی را در نظر بگیرید. که جهت محور z به سمت بالا (ارتفاعی که کره بالا می‌رود)، جهت محور y جهت حرکت جسم و جهت محور x جهت جانبی جسم است. اگر کُره‌ای در یک شاره‌ای در حرکت باشد، مانند هوا، نیروی FD درخلاف جهتِ حرکتِ جسم به جسم وارد می‌شود حال اگر این کره بچرخد یک نیروی دیگری به نام مگنوس به آن وارد می‌شود. همچنین نیروی گرانش نیز به سمت پایین یعنی در جهت محور z به جسم وارد می‌شود. شکل ۲ دیاگرام جسم کروی چرخان که با سرعت V در حال حرکت است را نشان می‌دهد. از قانون دوم نیوتن داریم که سرعت جسم چرخان به علت نیروی وارد شده تغییر می‌کند پس طبق معادلهٔ زیر

 F_{net} = ma (1)

که در آن Fnet نیروی وارد بر جسم چرخان و m جرم و a شتاب جسم است. می‌توان این فورمول را بر اساس مشتق مرتبه دوم جابجایی s و مرتبه اول سرعت v نسبت به زمان نوشت :

\quad \mathbf{F_{net}} = m\frac{{\rm d} \mathbf{v(t)}}{{\rm d} t} = m\frac{{\rm d}^2 \mathbf{s(t)}}{{\rm d} t^2} \,\!(2)

با توجه به محورهای مختصات این معادله به سه معادلهٔ مجزا تبدیل می‌شود :

\quad \mathbf{F_{x}} = m\ddot x(t), \quad \mathbf{F_{y}} = m\ddot y(t), \quad \mathbf{F_{z}} = m\ddot z(t)(3)

که می‌توان نوشت : \quad \mathbf{F_{net}} = F_D + F_S + F_L + F_G (4)

که در آن FD نیروی کشش، FG نیروی گرانش و FL و FS به ترتیب مولفهٔ بالابرنده (Lifting component) و مولفهٔ جانبی (Sideways component) نیروی مگنوس هستند. در نظر گرفتن این دو مولفه برای نیروی مگنوس بسیار مهم است. نیروی کشش و نیروی مگنوس FM توسط این معادله داده می‌شود :

 F_D =0.5 C_D \rho A v^2 ,(5)     F_M =0.5 C_L \rho A v^2 = 0.5 C_M \rho A r \omega v (6)

که در آن CD ضریب کشش کرهٔ چرخان، ρ چگالی شاره (مثلا هوا) و A مساحت سطح مقطع جسم و v سرعت جسم است. که این سرعت به نوبهٔ خود به سه مولفه تقسیم می‌شود. همچنین C_L = {C_M r\omega \over \ v}  (7) که در آن CM ضریب تناسب و ω سرعت زاویه‌ای جسم چرخانی است که دارای سرعت v خطی است. یادمان باشد که ω در سه جهت دارای مولفه است در مدل‌های تقریبی ω ثابت در نظر گرفته می‌شود اما در اینجا مدل کلی بررسی می‌شود. در اینجا سرعت مماسی شارهٔ سیال را vt در نظر می‌گیریم یعنی (tangential velocity)که همانطور که گفتیم سرعت کلی جسم نسبت به هوا سنجیده می‌شود یعنی یک نیروی کشش ماکزیمم و یک نیروی کشش مینیمم داریم بدین صورت :

 F_{Dmax} =(0.5 C_D \rho A) (v + v_t)^2 ,     F_{Dmin} =(0.5 C_D \rho A) (v - v_t)^2 (8)

برای بدست آوردن نیروی کلی باید این دو مقدار را از هم کم کنیم که می‌شود :  F_{net} = 2/rho A C_D v v_t

این مقدار کلی نیروی کشش است، حال باید گشتاور این نیرو را بدست بیاوریم: \boldsymbol{\tau}=\mathbf{F}_{net} \times \mathbf{r} (9) و \boldsymbol{\tau}=\mathbf{I} \mathbf{\alpha} و \boldsymbol{I}= 2/5 m r^2

که در آن α شتاب زاویه‌ای و I اینرسی است که بستگی به شکل جسم دارد و در اینجا چون کروی هست به صورت بالا داده شد. درنتیجه داریم :

\mathbf{\alpha} = {5\rho A C_D v \omega \over \ m} (10)

دیگر ω ثابت نیست و با معادلات زیر که برای سه راستا بسط داده شده بیان می‌شود: \mathbf{\alpha_{x,y,x}} = {5\rho A C_D \sqrt{v^2_x + v^2_y + v^2_z} \omega_{x,y,z} \over \ m} (11)

حال برای بدست آورد نیرو باید از ضرب خارجی استفاده کنیم زیرا برای هر مولفه ما هم تاثیر FL و هم تاثیر FS در نظر گرفتهمی شود. در معادلهٔ (۶) به جای ωr باید ω×r نوشت و مولفه‌های x, y و z نیروی مگنوس را بدست می‌آوریم سپس با فرض اینکه FG = ma می‌توان معادلات را نوشت. این کار برای نشان دادن چگونگی این حرکت با استفاده از نرم‌افزار و رسم آن مفید است.[۵]

در ورزش[ویرایش]

اثر مگنوس عموماً انحراف مشاهده شده در توپ های بازی در حال چرخش از مسیرشان را توضیح می دهد، که به طورخاص در توپ های فوتبال، بسکتبال، تنیس، تنیس روی میز، والیبال، گلف، کریکت و پینتبال دیده می شود. مسیرمنحنی وارِ توپ گلف که به slice معروف است به حرکتِ چرخشیِ توپِ گلف ( نسبت به محور عمودی ) وابستگی بسیار زیادی دارد و نیروی مگنوس یک نیروی افقی ایجاد می¬کند که توپ را از مسیر مستقیم خود به مسیرِ پرتابه ایِ منحنی وار منحرف می کند.[۶] .چرخش و غلطیدن گوى بعقب (Backspin) (یعنی انکه سطح بالای توپ در جهت مخالف حرکت توپ بچرخد،و Topspin یعنی حرکت بالای توپ در جهت حرکت توپ بچرخد) در توپ گلف باعث ایجاد نیروی عمودی می شود که اندکی نیروی گرانش را خنثی می¬کند و توپ را قادر می¬سازد که بیشتر توسط هوا منتقل شود نسبت به حالتی که توپ نمی¬چرخد: این پدیده به توپ اجازه ی حرکت بیشتری را نسبت به توپ بدون چرخش می دهد.

در تنیس روی میز، به علت جرم وچگالی کوچک توپ، نیروی مگنوس به راحتی قابل مشاهده است. یک بازیکن باتجربه میتوان چرخش های مختلفی را به توپ بدهد. راکت تنیس روی میز از یک سطح لاستیکی درست شده که بیشترین نیرو را برای به چرخش درآوردن به توپ بدهد.

ضربه ی حیرت آور روبرتو کارلوس در سال 1997 که منجر به گلی ماندگار شد. کات های جلب توجه را می توان در این تصویر دید که به وسیله ی نیرویمگنوس به راحتی قابل درک است.

در فوتبال، در سال 1997 در تورنومنت فرانسه، روبرتو کارلوس بازیکن برزیلی توپ را در مقابل چشمان حیرت‌زده دروازه‌بان و تماشاچیان و رسانه‌ها با قوسی عجیب تغییر مسیر داد و وارد دروازه کرد. بعد از این ضربه بود که کارلوس شروع به تمرین این شوت کرد. او به این بصیرت رسیده بود که به چه طریقی و با چه سرعتی به توپ ضربه بزند تا این اتفاق بیفتد.این ضربات در دنیای فوتبال نقش ویژه ای را بازی میکنند مثل ضربات موزی شکل که همیشه شاهد آن د بازی های فوتبال هستیم. یکی دیگر از ستارگان این ضربات دیوید بکام بود که همیشه میگفتند مثل بکام خم کن در صورتی که باید بگویند مثل مگنوس خم کن.[۷]

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Briggs, Lyman (1959). "Effect of Spin and Speed on the Lateral Deflection (Curve) of a Baseball and the Magnus Effect for Smooth Spheres". American Journal of Physics 27 (8): 589. Bibcode:1959AmJPh..27..589B. doi:10.1119/1.1934921. 
  2. Brown, F (1971). See the Wind Blow. University of Notre Dame. 
  3. Van Dyke, Milton (1982). An album of Fluid motion. Stanford University. 
  4. Cross, Rod. "Wind Tunnel Photographs". Physics Department, University of Sydney. p. 4. Retrieved 10 February 2013. 
  5. Ahmad, Mohammad. "Bend It like Magnus: Simulating Soccer Physics". Physics Department, The College of Wooster, Wooster. p. 8. Retrieved May 14, 2011. 
  6. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
  7. http://www.hupaa.com/Data/pdf/P00190.pdf