از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد
در ریاضیات ، اتحادهای گرین شامل سه اتحاد در جبر بردارها است که به نام جورج گرین ریاضیدان انگلیسی نامگذاری شدهاست.
این اتحاد از وارد کردن قضیهٔ دیورژانس در فضای برداری بدست آمدهاست.
F
=
ψ
∇
φ
{\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \varphi }
فرض کنید φ و ψ تابعهای نردبانی اند (عددی) که بر روی ناحیهٔ U از R۳ تعریف شدهاند. همچنین فرض کنید که φ دو بار مشتق پذیر و پیوسته و ψ یک بار مشتق پذیر و پیوسته است. آنگاه:[۱]
∫
U
(
ψ
∇
2
φ
+
∇
φ
⋅
∇
ψ
)
d
V
=
∮
∂
U
ψ
(
∇
φ
⋅
n
)
d
S
{\displaystyle \int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS}
که در آن
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
همان عملگر لاپلاس است. n بردار یکهٔ عمود بر سطح کوچک dS و
∂
U
{\displaystyle {\partial U}}
مرز ناحیهٔ U میباشد. این قضیه اساساً همارز انتگرالگیری در ابعاد بالاتر است که دارای جزءهای ψ و گرادیان φ به جای u و v میباشد.
اگر φ و ψ هر دو، دو بار مشتق پذیر و پیوسته بر روی ناحیهٔ U از R ۳ باشند و ε یک بار مشتق پذیر و پیوسته باشد:
∫
U
[
ψ
∇
⋅
(
ϵ
∇
φ
)
−
φ
∇
⋅
(
ϵ
∇
ψ
)
]
d
V
=
∮
∂
U
ϵ
(
ψ
∂
φ
∂
n
−
φ
∂
ψ
∂
n
)
d
S
.
{\displaystyle \int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\epsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS.}
در حالت خاص
ϵ
=
1
{\displaystyle \epsilon =1}
بر روی ناحیهٔ U از R ۳ خواهیم داشت:
∫
U
(
ψ
∇
2
φ
−
φ
∇
2
ψ
)
d
V
=
∮
∂
U
(
ψ
∂
φ
∂
n
−
φ
∂
ψ
∂
n
)
d
S
.
{\displaystyle \int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS.}
در رابطهٔ بالا، ∂φ / ∂n مشتق جهت دار φ در جهت n ، رو به بیرون و عمود بر سطح کوچک dS است:
∂
φ
∂
n
=
∇
φ
⋅
n
.
{\displaystyle {\partial \varphi \over \partial n}=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} .}
اتحاد سوم گرین از اتحاد دوم بدست میآید. به شرطی که
φ
=
G
{\displaystyle \varphi =G}
در نظر بگیریم و G جواب معادلهٔ لاپلاس باشد و این بدین معنی است که:
∇
2
G
(
x
,
η
)
=
δ
(
x
−
η
)
.
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {\eta } ).}
برای نمونه در
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
جواب بنیادی فرم زیر را دارد:
G
(
x
,
η
)
=
−
1
4
π
‖
x
−
η
‖
.
{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {\eta } \|}.}
اتحاد سوم گرین میگوید که اگر ψ تابعی باشد که دو بار بر روی ناحیهٔ U پیوسته و مشتق پذیر است، آنگاه:
∫
U
[
G
(
y
,
η
)
∇
2
ψ
(
y
)
]
d
V
y
−
ψ
(
η
)
=
∮
∂
U
[
G
(
y
,
η
)
∂
ψ
∂
n
(
y
)
−
ψ
(
y
)
∂
G
(
y
,
η
)
∂
n
]
d
S
y
.
{\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}
اگر بخواهیم مسئله را سادهتر کنیم، آن را به این شکل بیان میداریم که اگر ψ یک تابع هارمونیک باشد، برای نمونه جواب معادلهٔ لاپلاس باشد، آنگاه
∇
2
ψ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}
و اتحاد به شکل زیر ساده میشود:
ψ
(
η
)
=
∮
∂
U
[
ψ
(
y
)
∂
G
(
y
,
η
)
∂
n
−
G
(
y
,
η
)
∂
ψ
∂
n
(
y
)
]
d
S
y
.
{\displaystyle \psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}-G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}
منبع و یادداشت [ ویرایش ]
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Green's identities ». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی ، بازبینیشده در ۵ نوامبر ۲۰۱۱.
↑ Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction . Wiley.
جستارهای وابسته [ ویرایش ]
پیوند به بیرون [ ویرایش ]
[۱] اتحادهای گرین در Wolfram MathWorld.